سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع متناوب (یافتن مقادیر تابع متناوب)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 40 مرتبه

یافتن مقادیر یک تابع متناوب

فرض کنیم f تابعی متناوب و T یک تناوب اساسی مثبت برای آن باشد و a عددی حقیقی متعلق به دامنه f باشد، آن‌گاه:  

تعریف: هرگاه مقادیر تابع f بر مجموعه Dfa,a+T معلوم باشد، آن‌گاه مقدار f و در نتیجه ضابطه و نمودار آن در هر نقطه از دامنه f معلوم است، بنابراین کافی است ضابطه یک تابع متناوب در یک دوره تناوب آن معلوم باشد، در این‌صورت می‌توان مقادیر تابع و یا ضابطه آن را در دامنه مشخص کرد.

تمرین

تابع f متناوب با دوره تناوب T=2 می‌باشد.

اگر ضابطه f در فاصله 0,2 به‌صورت زیر باشد، f7.99 را پیدا کنید:

fx=1x

به‌طور کلی اگر نمودار یک تابع متناوب در یک دوره تناوب مشخص باشد، می‌توانیم با انتقال یک نمودار به موازات محور x ها و به اندازه برداری به طول nz  ,  nT نمودار آن را در فواصل دیگر از دوره تناوب پیدا کنیم.

f7.99=f7.99+4×2=f0.01=10.01=100


ضابطه تابع در فاصله 2,4 به‌صورت fx=1x-2، یعنی کافی است در معادله fx=1x تابع fx-2 محاسبه شود.  

نکته

به‌همین ترتیب، ضابطه کلی تابع fx=1x2n با شرط 2n<x2n+2  به‌صورت زیر است: 

fx=1x2x2


تابع متناوب - پیمان گردلو

تمرین

تابع f متناوب با دوره تناوب T=2 می‌باشد. اگر ضابطه f در فاصله 1,1 به‌صورت زیر باشد، ضابطه تابع را در هر فاصله از دوره تناوب پیدا کنید.

fx=x

به‌طور کلی اگر نمودار یک تابع متناوب در یک دوره تناوب مشخص باشد، می‌توانیم با انتقال یک نمودار به موازات محور x ها و به اندازه برداری به طول nz  ,  nT نمودار آن را در فواصل دیگر از دوره تناوب پیدا کنیم.


تابع متناوب - پیمان گردلو

ضابطه f در فاصله 1,3 به‌صورت fx=x-2 است.  


ضابطه f در فاصله 3,5 به‌صورت fx=x-4 است. به‌همین ترتیب:


ضابطه f در فاصله 2n-1,2n+1 به‌صورت fx=x-2n است.  

تمرین

تابع f:RR به‌ازای هر x حقیقی در رابطه fx+π=fx+sinx صدق می‌کند، اگر به ازای هر 0x<π، fx=0 باشد، آن‌گاه: 

ضابطه تابع را در فاصله π,2π پیدا کنید. 

if  πx<2π  0xπ<π  fxπ=0  if  fx+π=fx+sinxfxπ+π=fxπ+sinxπfx=fxπsinxfx=0sinxfx=sinx


تابع f در بازه 0,2π به‌صورت زیر است:

fx=0                ;    0x<πsinx    ;    πx<2π


تابع متناوب - پیمان گردلو

ضابطه تابع را در R را مشخص کنید. 

اگر x هر عدد دل‌خواهی باشد:

fx+2π=fx+π+πfx+2π=fx+π+πfx+2π=fx+π+sinx+πfx+2π=fx+sinxsinxfx+2π=fxT=2π


f تابعی متناوب با دوره تناوب 2π است، چون fx=0 و fx=-sinx خود توابعی متناوب هستند، ‌در نتیجه ضابطه تابع در R به‌صورت زیر است:

fx=0                ;    2kπx<2kπ+πsinx    ;    2kππx<2kπ


در شکل فوق، نمودار تابع در دو دوره تناوب رسم شده است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید