سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع مرکب (معادلات تابعی)

آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:

تعریف معادلات تابعی

معادله تابعی، اتحاد یا رابطه‌ای است که تابع یا توابعی در آن صدق می‌کنند و منظور از حل یک معادله تابعی، یافتن تابع یا توابعی است که در معادله تابعی صدق کنند.

تمرین

اگر fx+y+fxy=2fx.fy یک معادله تابعی باشد، ثابت کنید تابع زیر یک جواب آن است.

fx=cosx

کافی است نشان دهیم fx=cosx به عنوان جواب، در معادله فوق صادق است.

fx=cosxfx+y=cosx+yfxy=cosxyfx+y+fxy=cosx+y+cosxy=cosxcosysinxsiny+cosxcosy+sinxsiny=2cosx.cosy=2fx.fy

نکته

در حل این نوع مسائل، به دو نوع مسئله برخورد می‌کنیم:

1- تحقیق کنیم که معادله داده شده در معادله تابعی صدق می‌کند که کار ساده‌ای است، مهم عکس مساله است.

2- چگونه آن تابع را پیدا کنیم و یا این‌که اگر به روشی، آن تابع را مشخص کردیم یعنی جواب را به‌دست آوردیم، ثابت کنیم این جواب یا جواب‌ها منحصر به‌فرد می‌باشند و جواب دیگری به غیر از این‌ها موجود نیست.

معادلات تابعی بر حسب چند جمله‌ای‌ها

برای تعیین تابعی که در این معادلات صدق کند، ابتدا درجه چند جمله‌ای را پیدا کرده، صورت کلی آن را می‌نویسیم، سپس با جایگذاری در رابطه، fx را مشخص می‌کنیم. 

تمرین

اگر fx یک چند جمله‌ ای باشد، در تساوی‌های زیر fx را بیاید:  

ffx=fx+6fx=?

اگر fx یک چند جمله‌ ای از درجه n باشد، آن‌گاه ffx از درجه n2 است.

n2=nn2n=0nn1=0n=0    ×n=1      fx=ax+b


ffx=fx+6afx+b=fx+6aax+b+b=ax+b+6a2x+ab+b=ax+b+6a2x+ab=ax+6a2=a    a=0   ×a=1ab=6     1b=6b=6fx=x+6

ffx=x2fx1fx=?

اگر fx یک چند جمله‌ ای از درجه n باشد، آن‌گاه ffx از درجه n2 است و x2fx1 از درجه n+2 است.

n2=n+2n2n2=0n+1n2=0n=1    ×n=2      fx=ax2+bx+c


ffx=x2fx1af2x+bfx+c=x2ax2+bx+c1aax2+bx+c2+bax2+bx+c+c=x2ax2+bx+c1a3x4+ab2x2+ac2+2a2bx3+2a2cx2+2abcx+abx2+b2x+bc+c=ax4+bx3+c1x2a3x4+2a2bx3+ab2+2a2c+abx2+2abc+b2x+ac2+bc+c=ax4+bx3+c1x2a3=a2a2b=bab2+2a2c+ab=c1fx=x21

دریافت مثال

یادآوری

چند معادله تابعی معروف که توابع اساسی و معروفی در آنها صدق می‌کنند، به شرح زیر است:

fx+y=fx+fyfxy=fx+fyfx+y=fx.fyfxy=fx.fyfx+y+fxy=2fxfy

دریافت مثال

 معادلات تابعی با حل مستقیم یا تشکیل دستگاه

دو نوع از این معادلات می‌توانند به فرم کلی زیر باشند:

gxfx+hxfx=pxgxfx+hxf1x=px

px,hx,gx توابعی معلوم می‌باشند یا مقادیری ثابت هستند.

معمولا در اولی با تبدیل x به -x و در دومی با تبدیل x به 1x به معادله تابعی جدیدی می‌رسیم و دو معادله مفروض را در قالب دستگاه در نظر گرفته و تابع مورد نظر را پیدا می‌کنیم. 

تمرین

در تساوی های زیر، تابع خواسته شده را محاسبه کنید.

if  afx+bfx=cxfx=?

در تساوی مطرح شده با تبديل x  به -x به يک تساوی جديد به‌صورت زیر می‌رسیم:

afx+bfx=cx


اين دو تساوی را در يک دستگاه حل می‌كنيم و fx را حذف می‌كنيم تا فقط fx باقی بماند. 

   a×b×   afx+bfx=cxafx+bfx=cxa2fx+abfx=caxbafxb2fx=cbxa2fxb2fx=cax+cbx

a2fxb2fx=cax+cbxa2b2fx=a+bcxfx=a+bcxa2b2fx=a+bcxaba+b    ;    abfx=cxab

if   2f1+x+3f1x=5x1fx=?

2×      3×2f1+x+3f1x=5x12f1x+3f1+x=5x14f1+x6f1x=10x+26f1x+9f1+x=15x35f1+x=25x1

5f1+x=25x1f1+x=5x15    ;    if   1+x=tx=t1ft=5t115ft=5t+515ft=5t+245fx=5x+245

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع مرکب (معادلات تابعی)

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید