سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع متناوب (تناوب توابع خاص)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 63 مرتبه

دوره تناوب توابع gx=fax+b

تعریف: اگر f تابعی متناوب با تناوب اساسی (دوره تناوب اصلی) Tfx باشد، آن‌گاه تابع با ضابطه gx=fax+b که a و b اعداد حقیقی و a0 نیز متناوب و تناوب اساسی آن به‌صورت زیر است:

Tgx=Tfxa

تمرین

تناوب اساسی (دوره تناوب اصلی) توابع زیر را به‌دست آورید.

fx=sinx

Tfx=2πa=2π1=2π

gx=sinaxπ2

Tgx=TfxaTgx=2πa

نکته

اگر کمان یک تابع مثلثاتی به‌صورت ax+b نباشد، تابع متناوب نیست.

هیچ‌کدام از توابع زیر، متناوب نیستند:

fx=sinxfx=cosx2fx=tan1x

دوره تناوب توابع مرکب fgx

اگر g تابعی متناوب و با دوره تناوب T و f تابعی دل‌خواه باشد، آن‌گاه fgx در صورت معین بودن، تابعی متناوب و دوره تناوب اصلی آن برابر T یا کوچک‌تر از آن است:

fgx+T=fgx

تمرین

توابع با ضابطه‌های زیر، متناوب نیستند:

fx=axn+bxn1++cfx=xnfx=xfx=logxfx=ax

توابع زیر متناوب نیستند: (به‌علت کراندار بودن توابع در دامنه‌هایشان)

fx=Arcsinxfx=Arccosx

توابع زیر متناوب هستند:

fx=Arccostanxfx=Arcsinxx

نکته

در مورد تعیین دوره تناوب fgx وقتی gx متناوب باشد، قضایای زیر بسیار مفید خواهند بود.   

قضیه

هرگاه g تابعی متناوب و با دوره تناوب T و f تابعی یک به یک باشد، آن‌گاه دوره تناوب fgx نیز برابر T است، یعنی دوره تناوب تغییر نمی‌کند. (به تعریف تابع یک به یک مراجعه نمائید)   

اثبات

if  x+TDf    ;    fgx+T=fgxgx+T=gx

توجه کنید که f  تابعی یک به یک است و دوره تناوب fgx نیز برابر T است.  

دریافت مثال

تذکر

عکس قضیه فوق صحیح نیست، یعنی ممکن است دوره تناوب fgx برابر با دوره تناوب gx باشد، اما f تابعی یک به یک نباشد. 

تمرین

دوره تناوب تابع fgx=sinx همان 2π است، در حالی‌که تابع fx=x یک به یک نیست.

دوره تناوب توابع fgx=tannaxfgx=cotnax همان πa است، در حالی‌که تابع fx=xn اگر n زوج باشد، یک به یک نیست.

دوره تناوب تابع fgx=sincosax همان 2πa است، در حالی‌که تابع fx=sinx یک به یک نیست.

قضیه

هرگاه g تابعی متناوب و با دوره تناوب T و خاصیت gx+T2=gx باشد و f تابعی زوج باشد، آنگاه دوره تناوب fgx نصف یا کم‌تر از نصف دوره تناوب g است. 

اثبات

هرگاه g تابعی متناوب و با دوره تناوب T باشد:

gx+T2=gxfgx+T2=fgx

و چون f زوج است، داریم:

fgx+T2=fgx

Tfgx=Tgx

دریافت مثال

تذکر

اگر توابعی با تبدیل sincoscossintancotcottan تغییر نکند و هر دو با یک تابع زوج ترکیب شوند، آن‌گاه دوره تناوب باز هم نصف می‌شود.

تمرین

دوره تناوب اصلی توابع زیر، همگی π2a می‌باشد. 

y=sin2nax+cos2nax    ;    n1y=cot2nax+tan2naxy=sinnax+cosnax    ;    nN  ,  n2y=tannax+cotnax    ;    nN

قضیه

هرگاه g تابعی متناوب و با دوره تناوب T و خاصیت gx+T2=gx باشد و f تابعی فرد باشد، آن‌گاه دوره تناوب fgx همان دوره تناوب g است. 

اثبات

هرگاه g تابعی متناوب و با دوره تناوب T باشد:

gx+T2=gxfgx+T2=fgx

و چون f فرد است، داریم:

fgx+T2=fgxfgx+T2+T2=fgx+T2fgx+T=fgxfgx+T=fgxTfgx=Tgx

دریافت مثال

قضیه

تابع f با دامنه Df مفروض است، هرگاه عدد حقیقی T0 وجود داشته باشد به‌طوری‌که:

xDfx±TDffx+T=1fx

آنگاه تابع f متناوب و دوره تناوب آن 2π است.  

اثبات

if    xDf     ;    if  fx+T=1fxfx+2T=1fx+Tfx+2T=11fxfx+2T=fx

1- توابع fx=tanxfx=cotxfx=1ax مهمترین توابعی هستند که خاصیت فوق را دارند:

tanx+π2=cotx=1tanxT=2×π2=π

2- فرض کنیم توابع f و g با دوره تناوب های 2T دارای خاصیت بیان شده باشند و به‌ازای هر x از DfDg و fx=1gx باشد، آن‌گاه:

fx+T=1fx=gxgx+T=1gx=fx

لذا در تابع hx=fxgx دوره تناوب برابر T است.

در توابع hx=fxgxhx=gxfx دوره تناوب حداقل برابر T است، یعنی نصف دوره تناوب‌های f و g می‌باشد.

hx+T=fx+Tgx+T                      =gxfx                      =fxgx                      =hx

تمرین

در تابع hx=tannaxcotnax دوره تناوب π2a است.

در تابع hx=tanaxcotax دوره تناوب π2a است.

3- اگر f تابعی متناوب با دوره تناوب T باشد ، آن‌گاه توابع:

sinfArcsinf     ,              ?Arccosf     ,     tanfArctanfcotfArccotf    ,           ?cscf              ,     fnlogf

همگی متناوب بوده و دوره تناوب اصلی آنها T است.

در میان این گروه از توابع، توابع secfcosf به چشم نمی‌خورند:

اگر f تابعی متناوب با دوره تناوب T باشد ، آنگاه توابع gx=cosfxgx=secfx متناوب هستند، برای تعیین دوره تناوب اصلی تابع g به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

if   xDg    ;    gx+T2=gx  Tgx=T2

درغیر این صورت:

if     xD    ;    gx+T2gxTgx=T

دریافت مثال

دوره تناوب توابع قدر مطلق f

اگر تابع f متناوب و دوره تناوب اصلی داشته باشد، آن‌گاه تابع f هم متناوب است.

در بعضی توابع، دوره تناوب تابع f برابر با دوره تناوب تابع f است.

در بعضی توابع، دوره تناوب تابع f برابر با نصف دوره تناوب تابع f است. 

برای یافتن دوره تناوب تابع f، دوره تناوب تابع f یعنی T را یافته و آن را نصف کرده و در تابع f به‌صورت زیر بررسی می‌کنیم:

اگر در تابع gx=f داشته باشیم:

xDg    ;    gx+T2=gx

نتیجه می‌گیریم دوره تناوب f همان T2 است، در غیر این صورت دوره تناوب تابع f همان T است.   

دریافت مثال

تذکر

از بین توابع cotx,tanx,cosx,sinx تنها تابع y=cosx متناوب است و دوره تناوب آن هم 2π است.

توابع cotx,tanx,cosx,sinx همگی متناوب‌اند و دوره تناوب آنها π است. 

دوره تناوب توابع f±g و f×g

قضیه

فرض کنیم f با دوره تناوب اصلی T و g با دوره تناوب اصلی T' باشند، هرگاه اعداد صحیح و غیر صفر n و m وجود داشته باشند به‌طوری‌که nT=mT' آنگاه f±g و f×g نیز در دامنه خود متناوب و دوره تناوب اصلی آنها برابر nT=mT' یا کم‌تر از آن است. n,m=1.    

اثبات

f+gx+nT=fx+nT+gx+nT                                     =fx+nT+gx+mT'                                     =fx+gx                                     =f+gx

 1- از قضیه فوق نتیجه می‌گیریم که برای پیدا کردن دوره تناوب حاصل جمع یا تفاضل یا ضرب و تقسیم چند تابع، ابتدا دوره تناوب‌های هریک از آن توابع را پیدا کرده Tn,...,T2,T1 می‌نامیم، سپس عدد T را در صورت وجود چنان پیدا می‌کنیم که:

T=k1T1=k2T2==knTn

k1 تا kn مقسوم علیه مشترکی ندارند.

2- هرگاه این دوره تناوب‌ها کسری باشند، ساده‌تر آن است که همه را به یک مخرج مشترک تبدیل کنیم، سپس T برابر کسری است که مخرج آن، همین مخرج مشترک و صورت آن کوچک‌ترین مضرب مشترک بین صورت‌ها می‌باشد. 

در تمام این موارد ممکن است دوره تناوب اصلی تابع کوچک‌تر از T نیز باشد که در این مورد تذکرات یا قضایایی را بیان می‌کنیم.

دریافت مثال

3- بیان کردیم اگر f با دوره تناوب اصلی T و g با دوره تناوب اصلی T' باشند، هرگاه اعداد صحیح و غیر صفر n و m وجود داشته باشند به طوری‌که nT=mT' آنگاه f±g و f×g نیز در دامنه خود متناوب و دوره تناوب اصلی آنها برابر nT=mT' یا کم‌تر از آن است. n,m=1.   

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست، یعنی ممکن است دو تابع f و g متناوب و دو عدد صحیح n و m وجود نداشته باشند که nT=mT' یا به‌بیان دیگر T گویا و T' اصم باشد، اما f+g متناوب باشد. 

4- توابع به معادلات زیر وقتی متناوب‌اند که αβQ یعنی αβ گویا باشد. 

تمرین

تابع به معادله زیر متناوب نیست، زیرا:

fx=3sin3x+tan2x

T1T2= 2π3 π2=223Q

دریافت مثال

5- اگر دو تابع f و g هر دو متناوب باشند، ممکن است  f±g و f×g یا fg متناوب نباشند. معمولا این اتفاق وقتی رخ می‌دهد که یکی از دوره تناوب‌ها، گویا و دیگری اصم باشد.

به طور کلی اگر T1T2 عددی گویا باشد، توابع فوق متناوب هستند.

تمرین

تابع به معادله fx=cosxsinπx متناوب نیست، زیرا: 

T1T2=2π2=πQ

π اصم است. 

6- دو تابع ممکن است هر دو نامتناوب باشند، اما حاصل جمع یا ضرب یا تفاضل یا تقسیم آنها متناوب باشد.

دریافت مثال

7-  اگر f تابعی متناوب و غیر صفر ، g تابعی نامتناوب باشد، معمولا  f±g و f×g یا fg متناوب نیستند، مخصوصا حالتی که f و g پیوسته باشند، یا g تابعی چند جمله‌ای غیر ثابت باشد، ‌اما در حالاتی خاص می‌توانند متناوب باشند.     

دریافت مثال

8- در توابع به صورت حاصل ضرب سینوس ها و کسینوس ها به فرم fx=sinαxsinβxfx=sinαxcosβxfx=cosαxcosβx باید آنها را به حاصل جمع تبدیل کنیم، سپس تناوب اصلی تابع را بیابیم. یادآوری می‌کنیم که:

sinacosb=12sina+b+sinabcosasinb=12sina+bsinabcosacosb=12cosa+b+cosabsinasinb=12cosabcosa+b

دریافت مثال

9- در تعیین کوچک‌ترین دوره تناوب، باید تابع را تا حد امکان ساده کرد و به ساده‌ترین صورت تبدیل کنیم، سپس دوره تناوب اصلی تابع را به‌دست آوریم.

دریافت مثال

10- توابع با ضابطه زیر نیز متناوب بوده و تناوب اساسی آنها T می‌باشند: 

fx+kkfxkfx    ;    k0

قضیه

عدد حقیقی T0 مفروض است، هرگاه:

xDf    ;    ±TDffx+T=fx

آن‌گاه f تابعی متناوب و  دوره تناوب آن 2T است. 

اثبات

fx+2T=fx+T+Tfx+2T=fx+Tfx+2T=fxfx+2T=fx

تمرین

از توابع مهمی که خاصیت قضیه فوق را دارند، می‌توان به توابع زیر اشاره نمود:

fx=sinx

fx+π=sinx+πfx+π=sinxfx+π=fxT=2π

fx=cosx

fx+π=cosx+πfx+π=cosxfx+π=fxT=2π

fx=1ax

fx+1a=1ax+1afx+1a=1ax+1fx+1a=1ax+1fx+1a=1ax11fx+1a=fx  T=2a

fx=asinx+bcosx

fx+π=asinx+π+bcosx+πfx+π=asinxbcosxfx+π=asinx+bcosxfx+π=fxT=2π

قضیه

اگر f و g دو تابع با دوره های تناوب T و T' با خاصیت زیر باشند، یعنی: 

fx+T2=fxgx+T'2=gx

به طوری که T=nT' و n عددی فرد باشد،آن‌گاه دوره تناوب توابع fg,fg حداقل نصف می‌شوند. 

اثبات

fgx+T2=fx+T2gx+T2=fxgx+nT'2=fxgx+T'2+n1T'2=fxgx+T'2=fxgx=fxgx=fgx

دریافت مثال

دوره تناوب توابع ثابت fx=c

تابع ثابت fx=c ممکن است متناوب باشد، ولی دوره تناوب اصلی ندارد.

xR     ;    x+TRxR     ;    fx+T=fx=c

1- در هر تابع متناوب، مجموعه دوره‌های تناوب مثبت آن دارای عضوی min است، این عضو min را دوره تناوب اصلی تابع f می‌نامیم.   

2- هر تابع ثابت با دامنه R متناوب است، اما دوره تناوب اصلی ندارد، به بیان دیگر هر عدد حقیقی مثبت، یک دوره تناوب آن است و چون کوچک‌ترین عدد حقیقی مثبت وجود ندارد، لذا کوچک‌ترین دوره تناوب ندارد.

3- اگر یک تابع ثابت با دامنه غیر R متناوب باشد، ممکن است دوره تناوب اصلی داشته باشد یا نداشته باشد. 

دریافت مثال

4- اگر تابعی متناوب و پیوسته باشد به‌طوری که دارای دوره تناوب مثبت و هر اندازه کوچک باشد، آنگاه f تابعی ثابت است.

اما عکس مطلب فوق همواره صادق نیست، یعنی توابعی وجود دارند که متناوب و دارای دوره تناوب هر اندازه کوچک می‌باشند، اما ثابت نیستند، این توابع نمی‌توانند پیوسته باشند.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع متناوب (تناوب توابع خاص)

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید