سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع متناوب (تناوب تابع مثلثاتی)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 42 مرتبه

دوره تناوب توابع مثلثاتی تانژانت و کتانژانت

تناوب اساسی (دوره تناوب اصلی) توابع مثلثاتی تانژانت و کتانژانت به‌صورت زیر است:

fx=tannaxfx=cotnax  Tfx=πa

توجه شود که توان تانژانت و کتانژانت چه زوج و چه فرد باشد، دوره تناوب همانی است که در بالا معرفی شده است.

دوره تناوب توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس

تناوب اساسی (دوره تناوب اصلی) توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس به‌صورت زیر است:

fx=sin2naxfx=cos2nax  Tfx=πafx=sin2n1axfx=cos2n1ax  Tfx=2πa

تمرین

با استفاده از تعریف تابع متناوب، دوره تناوب توابع زیر را به‌دست آورید.

fx=sinax

Df=RxDfx+TDfxDffx+T=fx

if   fx+T=fx   sinax+T=sinaxax+aT=2kπ+axaT=2kπT=2kπaT=2πaax+aT=2kπ+πax


چون تناوب اساسی تابع (بر اساس تعریف) مثبت و کوچکترین عدد است، لازم است a لحاظ شود و k=1 باشد. 

fx=cosx

Df=RxDfx+TDfxDffx+T=fx

if  fx+T=fxcosx+T=cosxx+T=2kπ±x


چون دوره تناوب مستقل از متغیر است، پس داریم:

T=2kπ    ;    k=1Tmin=2π


2π کوچک‌ترین دوره تناوب f می‌باشد.

ثابت کنید که تابع f کوچک‌ترین دوره تناوب مثبت کم‌تر از 2π ندارد.

بر اساس برهان خلف، فرض می‌کنیم T'ی وجود دارد که از T کوچک‌تر است. T'<T


اگر 0<T'<2π دوره تناوب f باشد، آن‌گاه:

cosx+T'=cosxcosx.cosT'sinx.sinT'=cosx    ;    if   x=0cosT'=1


با توجه به این‌که 0<T'<2π است، پس cosT'1 و این امکان ندارد، پس در هر صورت کوچک‌ترین دوره تناوب f همان T=2π است.   

برای ارسال نظر وارد سایت شوید