سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع متناوب (تناوب توابع جز صحیح)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

دوره تناوب توابع جزء صحیح fx=axax

قضیه

توابع با ضابطه fx=axax و a0 دارای دوره تناوب اصلی T=1a می‌باشند. 

اثبات

fx=axaxfx+T=ax+Tax+Tfx+T=ax+aTax+aT;     aTzfx+T=ax+aTaxaTfx+T=axaxfx+T=fx

aTz    ;    aT=kT=kak=1T=1aRf=0,1

تابع متناوب - پیمان گردلو

دریافت مثال

دوره تناوب توابع جزء‌صحیح fx=ax+ax

قضیه

توابع با ضابطه fx=ax+ax و a0 دارای دوره تناوب اصلی T=1a می‌باشند. 

اثبات

if   x+x=0       ;    xz1    ;    zax+ax=0       ;    ax=kz1    ;    axkzfx=ax+ax=0       ;    x=ka1    ;    ka

تابع f  زوج است و قسمتی از نمودار تابع به‌صورت زیر است:

تابع متناوب - پیمان گردلو

دوره تناوب توابع جزء‌صحیح fx=1ax

قضیه

توابع با ضابطه fx=1ax و a0 دارای دوره تناوب اصلی T=2a می‌باشند. 

اثبات

fx=1axfx+T=1ax+Tfx+T=1ax+aT    ;    aTzfx+T=1ax+aTfx+T=1ax.1aT    ;    aT=2kfx+T=1axfx+T=fx             

در صورتی عبارت 1ax.1aT با fx برابر است که aT زوج باشد.  

aT=2kT=2kak=1T=2aDf=R  ,  Rf=1,1

تابع متناوب - پیمان گردلو

نکته

در تابع fx=1ax اگر axz، آن‌گاه تابع فرد است.   

if   axzaxkxka  ,  kz

fx=1ax                  =1ax1                  =1ax.11                  =1ax    ;    1ax=1ax                  =1ax                  =fx

دوره تناوب توابع جزء‌صحیح fx=xnxn

قضیه

توابع با ضابطه fx=xnxn و a0 دارای دوره تناوب اصلی T=n می‌باشند. 

اثبات

fx+T=fx

fx+n=x+nnx+nn                       =x+nnxn+1                       =x+nnxn+1                       =x+nnxnn                       =xnxn                       =fx

به طور کلی در تابع fx=xnxn چون دوره تناوب n می‌باشد.nZ  

if   0x<n0xn<1xn=0


لذا ضابطه تابع و نمودار تابع در یک دوره تناوب به‌صورت زیر است:

fx=0           ;    0x<11            ;    1x<2                                      n1    ;    n1x<nRf=0,1,...,n1

تابع متناوب - پیمان گردلو

تمرین

تابع fx=x3x3 مفروض است:

دوره تناوب تابع را به‌دست آورید.

یادآوری می‌کنیم که:

if   fx=xnxnT=nfx=x3x3T=3

نمودار آن را در فاصله 0,6 رسم کنید.

if   0x<30x3<1x3=0if   0x<30x<1x=0fx=x3x3=00=01x<2x=1fx=x3x3=10=12x<3x=2fx=x3x3=20=2fx=0    ;    0x<11    ;    1x<22    ;    2x<3


تابع متناوب - پیمان گردلو

قضیه

اگر ab عددی گویا باشد، تابع زیر متناوب است:

fx=axabxb

کوچک‌ترین دوره تناوب آن کوچک‌ترین مضرب مشترک بین دو عدد a و b می‌باشد. 

اثبات

fx=axabxbfx=xbxbxaxafx=bxbxbaxaxa                                                                                             T1=b                    T2=a

اگر m و n اعداد صحیح باشند به‌طوری‌که na=mb، آن‌گاه:

if   na=mbab=mn

باید ab عددی گویا باشد.

تمرین

دوره تناوب تابع زیر را به‌دست آورید.

y=2x23x3

دوره تناوب تابع، کوچک‌ترین مضرب مشترک بین دو عدد 2 و 3 یعنی حاصل ضرب آن دو، یعنی عدد 6 می‌باشد. 

نمودار تابع را در بازه 0,6 رسم کنید.

0x60x230x2<1x2=01x2<2x2=12x2<3x2=2x2=3x2=30x320x3<1x3=01x3<2x3=1x3=2x3=2


تابع متناوب - پیمان گردلو

دوره تناوب توابع جزء‌صحیح nx=x+x+1n+x+2n++x+n1n

قضیه

تساوی زیر مفروض است:  

nx=x+x+1n+x+2n++x+n1n

تساوی فوق را می‌توان به‌صورت تابع زیر نمایش داد: 

fx=x+x+1n++x+n1nnx

fx متناوب بوده و دارای دوره تناوب T=1n می‌باشد.

اثبات

fx+1n=x+1n+x+1n+1n++x+1n+n1nnx+1n=x+1n+x+2n++x+nnnx+1=x+1n+x+2n++x+n1n+x+1+nx1=x+x+1n++x+n1nnx=fx

 1- توابع مرکب جبری و مثلثاتی مانند تابع زیر متناوب نیستند:

fx=x24x+sinx

اما می‌توان توابعی مرکبی ساخت که قسمت جبری آن به فرم axax باشد و متناوب هم باشد.   

دریافت مثال

 2- خلاصه‌ای از دوره تناوب، توابع براکتی:

y=ax+axy=1axxxy=axax   T=1a     ;    y=1axT=2ay=1axπsinxy=1axπcosx  T=πa    ;    y=1axπtanxy=1axπcotgx  T=2πa

دریافت مثال

3- اگر x را به xn تبدیل کنیم، داریم:

2x=x+x+12xx2x=x2+x+123x=x+x+13+x+23xx3x=x3+x+13+x+234x=x+x+14+x+24+x+34                xx4x=x4+x+14+x+24+x+34

                                                                                                                                                                                                nx=x+x+1n+x+2n++x+n1n           xxnx=xn+x+1n+x+2n++x+n1n

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع متناوب (تناوب توابع جزءصحیح)

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید