سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع چند ضابطه‌ ای

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 58 مرتبه

تعریف تابع چند ضابطه‌ای

گاهی ضابطه یا قانون تابع با بیش از یک معادله مشخص می‌شود، در این‌صورت تابع را چند ضابطه‌ای می‌نامند.

اگر Df دارای چندین زیر مجموعه جدا از هم به‌صورت D1,D2,...,Dn باشد به طوری که:

Df=D1D2...Dn

و ضابطه تابع برای هر یک از این مجموعه‌ها با معادلات مختلفی بیان شود، در این‌صورت f را تابعی چند ضابطهای می‌نامیم، بنابراین:

fx=f1x   ;   xD1f2x   ;   xD2                fnx   ;   xDn

برای تعیین مقدار تابع به‌ازای هر x داده شده، ابتدا باید مشخص کنیم که این x متعلق به کدام یک از زیر مجموعه‌های دامنه است، سپس آن را در معادله تعریف شده‌اش، قرار دهیم.

تمرین

دامنه توابع چند ضابطه‌ای زیر را محاسبه می‌کنیم:

fx=x+1    ;    x23x          ;    x<0

Df=,02,+

hx=x                 ;    3<x23x4    ;    2<x4

Dh=3,22,4=3,4

دریافت مثال

نکته

گاهی اوقات یک تابع چند ضابطه‌ای را می‌توان به تابع یک ضابطه‌ای تبدیل کرد و برعکس.

تمرین

توابع چند ضابطه‌ای زیر را به تابع یک ضابطه‌ای تبدیل می‌کنیم:

fx=x2         ;    x0x2    ;    x<0

fx=xx

fx=    x    ;    x>0    0      ;    x=0x    ;    x<0

fx=x=x ​sgn ​x

تشخیص تابع بودن یک رابطه ریاضی چند ضابطه‌ای

هرگاه رابطه ریاضی داده شده، چند ضابطه‌ای باشد، برای تشخیص تابع بودن آن به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

ابتدا اشتراک فواصل (دامنه) را در نظر می‌گیریم:

  • اگر اشتراک فواصل، تهی باشد، آن چند ضابطه بیان‌گر یک تابع است.
  • اگر اشتراک فواصل تهی نباشد، آن چند ضابطه در صورتی یک تابع را مشخص می‌کند که به‌ازای عضوهای مشترک، مقادیر به‌دست آمده در دو قانون با هم برابر باشند.

تمرین

بررسی کنید آیا رابطه چند ضابطه‌ای زیر، بیان‌گر تابع است؟

fx=x2+2x    ;    x1x3                 ;    x2

ابتدا اشتراک فواصل را در نظر می‌گیریم:

Df1Df2=1,2


اشتراک فواصل تهی نیست، چند ضابطه در صورتی یک تابع را مشخص می‌کند که به‌ازای عضوهای مشترک، مقادیر به‌دست آمده در دو قانون با هم برابر باشند.

if  x=12Df1Df2  f12=122+212=14+1=54f12=123=18


مقادیر به‌دست آمده در دو قانون با هم برابر نیست، پس رابطه فوق تابع نیست.

دریافت مثال

 رسم تابع چند ضابطه‌ای

مقدمه:

 تابع fx=x2             ;    x0x3    ;    x<0 یک تابع چند ضابطه‌ای (دو ضابطه‌ای) است. 

نمودار این تابع برای اعداد مثبت، همان نمودار سهمی y=x2 است و برای اعداد منفی، نمودار تابع با نمودار خط y=-x-3 برابر است.

نمودار fx در شکل زیر رسم شده است:

تابع چند ضابطه ای - پیمان گردلو

تعریف: 

برای رسم تابع چند ضابطه‌ای، کافی است نمودار هر ضابطه از تابع را رسم کنیم و روی هر کدام از نمودار ها، قسمت‌هایی را که در دامنه آن ضابطه تعریف شده است، پر رنگ کرده و بقیه را پاک کنیم.

به عنوان نمونه، توابع h,g,f در زیر داده شده‌اند، نمودار هریک از آنها را رسم می‌کنیم: 

تابع چند ضابطه ای - پیمان گردلو

تمرین

نمودار تابع f داده شده است. ضابطه این تابع را بنویسید:


تابع چند ضابطه ای - پیمان گردلو

برای نوشتن معادله خط با داشتن دو نقطه، داریم:

yyA=yAyBxAxBxxA


به محاسبه معادله خطی که از دو نقطه B2,0  ,  A3,4 می‌گذرد، می‌پردازیم:

yyA=yAyBxAxBxxAy4=4032x3y=4x8


به محاسبه معادله خطی که از دو نقطه C2,3  ,  B2,0   می‌گذرد، می‌پردازیم:

yyB=yByCxBxCxxBy0=0322x2y=34x+32


به محاسبه معادله خطی که از دو نقطه D3,2,C2,3 می‌گذرد، می‌پردازیم:

yyC=yCyDxCxDxxCy3=3223x2y=5x+13


به محاسبه معادله خطی که از نقطه D3,2 می‌گذرد:

y=-2


ضابطه این تابع به‌صورت زیر است:

fx=4x8           ;    2x3    34x+32    ;    2x25x+13         ;    3x<22                   ;    x3

دریافت مثال

نکته

برد توابع چند ضابطه‌ای، اجتماع بردهای ضابطه‌ها است.

تمرین

برد تابع زیر را به‌دست آورید.

fx=x21    ;    x0x2x1    ;    x<0

if   x0y1=x21x2=y1+1x=±y1+1x=y1+1      ;   x0y1+10y11Rf1=1,+



if   x<0y2=x2x1xy2y2=x2xy2x=y22xy21=y22x=y22y21       ;        x<0y22y21<0


تابع چند ضابطه ای - پیمان گردلو

1<y2<2Rf2=1,2


برد تابع، به‌صورت زیر معرفی می‌شود: 

Rf=Rf1Rf2=1,+1,2=1,+

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع چند ضابطه‌ای

3,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید