سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع مرکب (خواص)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

نکات و خواص تابع مرکب

1- ترکیب توابع، خاصیت جابجایی ندارد، یعنی: 

foggof

تمرین

توابع fx=x2gx=x+5 مفروضند.

توابع fog و gof بیابید ونشان دهید foggof

یادآوری می‌کنیم که:

xggxffgx    ;    fogx=fgxxffxggfx    ;    gofx=gfxfogx=fgx=gx2=x+52=x2+10x+25gofx=gfx=fx+5=x2+5foggof

تمرین

توابع زیر مفروضند:

f:1,+Rfx=x22x    ;    g:1,+Rgx=1+1+x

 آیا fog=gof  است؟

Dfog=xDg|gxDf=x1,+1+1+x1=1,+fgx=1+x+1221+x+1=x    ;    x1,+Dgof=xDf|fxDgDgof=x1,+x22x1=x1,+x120=1,+gfx=1+x22x+1=1+x12=1+x1=1+x1=x    ;    x1,+


این دو تابع همانی برابر نیستند، زیرا دامنه‌هاشان با هم برابر نیست.

fogx=x    ;    x1,+gofx=x    ;    x1,+

2- ترکیب توابع، خاصیت شرکت‌پذیری دارد، یعنی: 

hogof=hogof

قضیه

فرض کنیم f:AXg:BYh:CZ باشند، به‌طوری‌که hogofhogof تعریف شده‌اند، در این‌صورت:    

hogof=hogof

اثبات

Dhogof=xDgofgofxDh                   =xDf  ,fxDggofxDh                   =xA  ,  fxBgofxC                   =xAfxB,gfxCϕ=D

Dhogof=xDffxDhog                   =xAfxDg,gfxDh                   =xAfxB,gfxCϕ=D

دامنه‌های دو تابع یکی می‌باشند:

xD  :  hogofx=hgofx=hgfxhogof=hogfx=hgfx

از این مطلب می‌توان نتیجه گرفت که در ترکیب چند تابع، می‌توان پرانتزها را حذف کرد:

hogof=hogof=hogof

تمرین

توابع fx=x2gx=x+5hx=x مفروضند.

نشان دهید fogoh=fogoh

fogoh   :fogx=fgx=gx2=x+52=kxhx=xfogohx  =kohx=khx=hx+52=x+52=x+10x+25fogoh   :   gohx=ghx=hx+5=x+5=pxfx=x2fogohx=fopx=fpx=px2=x+52=x+10x+25

3- تابع همانی Ix=x عضو خنثی نسبت به عمل ترکیب توابع است:

foI=Iof=f

تمرین

اگر fx=2x2+3x+1 باشد، نشان دهید foI=Iof=f .

foIx=fIx=2Ix2+3Ix+1=2x2+3x+1=2x2+3x+1Iofx=Ifx=fx=2x2+3x+1

4- اکیدا یکنوایی fog و gof

قضیه

فرض کنیم f:AB اکیدا صعودی و g:CD اکیدا نزولی باشد و gof تعریف شده باشد، آن‌گاه gof اکیدا نزولی است. 

اثبات

f اکیدا صعودی است:  

x1,x2Dgof     ;    if   x1<x2fx1<fx2

g اکیدا نزولی است:  

gfx1>gfx2

یعنی gof اکیدا نزولی است، زیرا ثابت کردیم:

x1,x2Dgof     ;    if   x1<x2fx1<fx2gfx1>gfx2

نکته

به‌همین ترتیب ثابت می‌شود که اگر f و g هر دو اکیدا صعودی (یا اکیدا نزولی) باشد، آن‌گاه fog و gof درصورت وجود هر دو اکیدا صعودی (یا اکیدا نزولی) می‌باشند.

قضیه

فرض کنیم f:AB اکیدا نزولی و g:CD اکیدا نزولی باشد و fog تعریف شده باشد، آن‌گاه fog اکیدا صعودی است. 

اثبات

g اکیدا نزولی است:

x1,x2Dfog     ;    if   x1<x2gx1>gx2

f اکیدا نزولی است:

fgx1<fgx2

یعنی fog اکیدا صعودی است، زیرا ثابت کردیم:

x1,x2Dfog     ;    if   x1<x2gx1>gx2fgx1<fgx2

قضیه

توابع f:RRg:RRh:RR  هر سه صعودی و با شرط fxgxhx به‌ازای هر عدد حقیقی x داریم:

ffxggxhhx

fxRgxRfxgxffxfgx    Ιfxgxxgxfgxggx     ΙΙΙ,ΙΙffxfgxggxffxggx     

gxRhxRgxhxggxghx    ΙΙΙgxhxxhxghxhhx      ΙΙΙΙΙΙΙ  ,ΙΙΙΙggxghxhhxggxhhx       ,ffxggxggxhhxffxggxhhx

5- به‌ازای هر سه تابع h,g,f داریم:

1fog=1fogg+hof=gof+hof

تمرین

توابع fx=x2gx=x+5hx=x مفروضند.

نشان دهید g+hof=gof+hof

g+hx=gx+hx=x+5+x=x+x+5g+hofx=fx+fx+5=x2+x2+5=x2+x+5

gofx+hofx=gfx+hfx=fx+5+fx=x2+5+x2=x2+x+5

تمرین

توابع fx=x+5gx=x مفروضند.

نشان دهید 1fog=1fog.

fogx=fgx=x+5=x+51fogx=1fogx=1x+51fogx=1fgx=1gx+5=1x+5

6- نمودار fog از روی نمودارهای f و g .

توابع fx=xgx=x2 را در نظر می‌گیریم. تابع مرکب fog را محاسبه می‌کنیم: 

fogx=fgx=gx=x2=x

نمودار fog در توابع فوق را به‌صورت زیر رسم می‌کنیم:

با داشتن نمودارهای توابع f و g و با نقطه‌یابی، می‌توان نمودار توابع fog و gof را رسم کرد و اکنون می‌خواهیم fog را رسم کنیم:

فرض کنیم A نقطه‌ای به طول x1 روی نمودار g باشد، لذا Ax1,gx1 است، می‌خواهیم مقدار  f را در نقطه gx پیدا کنیم.

برای این منظور باید gx1 در دامنه f قرار گیرد و این وقتی میسر است که gx1 روی محور x ها باشد، در این صورت از خط y=x کمک می‌گیریم.   

تابع مرکب - ترکیب تابع - پیمان گردلو

از نقطه A خطی به موازات محور x ها رسم می‌کنیم، هرجا خط y=x را قطع کرد، نقطه B می‌نامیم. تصویر B روی محور x ها B' و طول B' همان gx1 است. اکنون fgx1 محاسبه می‌شود:

خط BB' نمودار f را در C قطع کرده است، لذا Cgx1,fgx1 است.

اگر از C خطی موازی محور x ها رسم کنیم تا خط AA' را در A'' قطع شود، A''x1,fgx1 است، یعنی A'' نقطه ای از نمودار fog است. این عمل را می‌توان به‌همین ترتیب ادامه داد تا نمودار fog مشخص شود.          

تمرین

نمودارهای f  و g در دستگاه مختصات زیر رسم شده‌اند:

تابع مرکب - ترکیب تابع - پیمان گردلو

عبارات داده شده را در صورت امکان، محاسبه کنید:

fog2

fog2=fg2=f1=0

fof1

fof1=ff1=f2=1

نکته

اگر نمودارهای دو تابع f و g نسبت به خط y=x قرینه باشند، ترکیب f و g یک تابع همانی است:

fogx=x

و نمودارهای fog و gof روی خط y=x واقع می‌شوند. (قسمتی از این خط یا تمام این خط)   

تمرین

آیا نمودارهای fx=x3gx=x3 نسبت به خط y=x قرینه‌اند؟

fgx=fx3=x33=xgfx=gx3=x33=x


ترکیب دو تابع فوق یک تابع همانی است، بنابراین نمودارهای دو تابع نسبت به خط y=x قرینه‌اند.


تابع مرکب - ترکیب تابع - پیمان گردلو

تمرین

اگر fx=x21 باشد، ،آن‌گاه وضعیت نمودار تابع y=fofx با محور x ها را بیابید.

y=fofx=ffx=f2x1=x2121


معادله تقاطع y=x2121 با محور x ها یعنی معادله y=0 را تشکیل می‌دهیم:

y=x2121y=0x2121=0


x2121=0x212=1  x21=±1x21=1  x2=2x=±2x21=1  x2=0x=0


نمودار تابع y=fofx ، محور x ها در دو نقطه به طول‌های x=±2  قطع کرده و در نقطه x=0 بر محور x ها، مماس است.  

 7- یک به یکی و معکوس پذیری fog

قضیه

اگر توابع f و g روی R معکوس پذیر باشند، تابع gof روی R یک به یک و معکوس پذیر است.  

اثبات

تابع f  معکوس پذیر است، پس یک به یک است: 

x1,x2Df    ;    fx1=fx2x1=x2

تابع g معکوس پذیر است، پس یک به یک است: 

x1,x2Df    ;    gx1=gx2x1=x2

نشان می‌دهیم gof یک به یک است:

x1,x2Dgof    ;    ifgfx1=gfx2fx1=fx2x1=x2

چون gof یک به یک است، پس معکوس پذیر هم هست. 

برای ارسال نظر وارد سایت شوید