سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع وارون یا معکوس (خواص)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 44 مرتبه

دامنه و برد تابع و تابع معکوس

اگر دامنه و برد تابع f را به‌ترتیب به‌صورت Df و Rf و دامنه و برد تابع f-1 را به ترتیب به‌صورت Df-1 و Rf-1 نمایش می‌دهیم و همواره رابطه زیر برقرار است:

Df=Rf1Rf=Df1

تمرین

تابع f با زوج مرتب زیر مفروض است. رابطه بین دامنه و بردهای f و f-1 را به‌دست آورید.

f=1,a,2,b,3,c

f=1,a,2,b,3,c  Df=1,2,3Rf=a,b,cf1=a,1,b,2,c,3Df1=a,b,cRf1=1,2,3


با توجه به روابط فوق، می‌توان نتیجه گرفت:

Df=Rf1Rf=Df1

دریافت مثال

ترکیب تابع و تابع معکوس

قضیه

ترکیب تابع f با تابع معکوس خود یعنی f-1 همواره یک تابع همانی است، یعنی:  

xDf       ;    f1ofx=x=IxxDf1    ;    fof1y=y=Iy

Ix تابع همانی در دامنه f است.

 Iy تابع همانی در دامنه f-1 یا برد f است.

Ix و Iy در حالت کلی با هم مساوی نیستند.

اثبات

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

xDf    ;    y=fxx=f1yf1ofx=f1fx=f1y=x=Ixfof1y=ff1y=fx=y=Iy

چون Df=Rf1Rf=Df1، داریم:

Df1of=xDffxDf1=xDffxRf=DfDfof1=xDf1f1xDf=xDf1f1xRf1=Df1Df1of=Df=Rf1ofDfof1=Df1=Rfof1

تمرین

تابع f با زوج مرتب f=1,4,2,3,3,5 مفروض است.

تابع معکوس آن را به‌دست آورید.

f1=4,1,3,2,5,3

ترکیب تابع f با f-1 را به‌دست آورید. 

fof14=ff14=f1=4fof13=ff13=f2=3fof15=ff15=f3=5fof1=4,4,3,3,5,5


بنابراین به ازای هر x متعلق به دامنه تابع f-1 داریم:

fof1x=x

ترکیب تابع f-1 با f را به‌دست آورید. 

f1of1=f1f1=f14=1f1of2=f1f2=f13=2f1of3=f1f3=f15=3f1of=1,1,2,2,3,3


بنابراین به‌ازای هر x متعلق به دامنه تابع f داریم:

f1ofx=x


تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

دریافت مثال

نکته

در حالت کلی fof1f1of است و لازم به توضیح است که تساوی fof1=f1of وقتی برقرار است که Df=Rf و در این حالت:  

fof1x=f1ofx=x

اگر f=f1 آن‌گاه fof1=f1of.   

تمرین

تساوی زیر را در نظر بگیرید:

fof1x=f1ofx=x

آیا توابع زیر در تساوی فوق صادق است؟

f:fx=x3  ,  f1:f1x=x3

fof1x=ff1x=fx3=x33=xf1ofxf1fx=f1x3=x33=xfof1x=f1ofx=x


تساوی زیر به این علت برقرار است، چون Df=Rf است.  

fof1x=f1ofx=x

دریافت مثال

اکیدا یکنوایی و یک به یکی و معکوس پذیری تابع

قضیه

اگر تابع f در دامنه‌اش اکیدا یکنوا باشد، آنگاه f یک به یک و معکوس پذیر است.

اثبات

فرض می‌کنیم f اکیدا صعودی باشد:

x1,x2Df    ;    if   x1<x2fx1<fx2

گزاره شرطی فوق، معادل گزاره شرطی زیر است:

x1,x2Df    ;    if  x1x2fx1fx2

گزاره شرطی فوق، معادل گزاره شرطی زیر است: ( قوانین منطق گزاره)

x1,x2Df    ;    iffx1=fx2x1=x2

برطبق رابطه فوق، تابع یک به یک و معکوس پذیر است.

به‌همین ترتیب اگر f اکیدا نزولی باشد، ثابت می‌شود.

تذکر

عکس قضیه فوق همواره برقرار نیست، یعنی توابع زیادی وجود دارند که معکوس پذیر و یک به یک می‌باشند، اما اکیدا یکنوا نیستند.

تمرین

با رسم نمودار تابع با ضابطه زیر نشان دهید تابع یک به یک و معکوس پذیر می‌باشد، اما اکیدا ‌یکنوا نیست.

fx=1x    ;    x>0x    ;    x0

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

توجه کنید که با اضافه کردن شرط پیوستگی، عکس قضیه فوق برقرار است.

تذکر

اگر تابع f یک به یک و پیوسته باشد، آن‌گاه اکیدا یکنوا است.

نکته

1- اگر f تابعی معکوس پذیر و پیوسته باشد، f-1 نیز پیوسته است. 

2- اگر f تابعی معکوس پذیر باشد، f11=f یعنی معکوس معکوس هر تابع برابر با خود آن تابع است. 

3- معکوس تابع یعنی f-1 در صورت وجود، منحصر به‌فرد است. 

4- اگر f تابعی فرد و معکوس پذیر باشد، آن‌گاه معکوس آن نیز تابعی فرد است.   

fx=fxfx=yx=f1yf1y=f1y

5- مشخص است که یک تابع زوج در دامنه‌اش، معکوس پذیر نیست زیرا یک به یک نمی‌باشد.

6- جهت تغییرات f و f-1 یکی است.  

اگر f تابعی اکیدا صعودی (یا اکیدا نزولی) باشد، آنگاه f-1 در دامنه‌اش اکیدا صعودی (یا اکیدا نزولی) است.

در نمودار زیر، توابع f و f-1 اکیدا صعودی هستند:

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

اگر نمودار f در ربع اول واقع شود، نمودار f-1 در ربع اول واقع می‌گردد و نسبت به نیمساز ناحیه‌ اول و سوم قرینه هستند.

a>0,b>0fb>0,a>0f1

دریافت مثال

معکوس پذیری fog

قضیه

اگر f و g توابعی یک به یک باشند، fog معکوس پذیر است و fog1=g1of1

اثبات

چون f و g یک به یک هستند، fog نیز یک به یک است، لذا fog معکوس پذیر است. 

برای اثبات fog1x=g1of1x به صورت زیر عمل می‌کنیم.

می‌دانیم ترکیب هر تابع با تابع معکوسش، یک تابع همانی است:

fogofog1x=fogog1of1x=fogog1of1x=fogog1of1x=foIof1x=fof1x=x=Ix

بنابراین تساوی fog1x=g1of1x برقرار است.  

دریافت مثال

نکته

مطلب فوق قابل تعمیم می‌باشد، یعنی اگر  f و g و h سه تابع یک به یک باشند، آن‌گاه: 

fogoh1=h1og1of1

در مواقعی که از ضابطه gof محاسبه gof1 به سادگی امکان پذیر نباشد، اگر بتوانیم g-1  و f-1 را پیدا کنیم، با ترکیب آنها f1og1=gof1 محاسبه می‌شود که همان معکوس gof است.   

دریافت مثال

تقارن در تابع و تابع معکوس

نمودار دو تابع  f و f-1 نسبت به نیمساز ناحیه اول و سوم متقارن هستند، یعنی هر نقطه از تابع f-1 ، قرینه نقطه تابع f نسبت به نیمساز ربع اول و سوم می‌باشد.

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو   

در شکل فوق، نمودار دو تابع نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه‌ یک‌دیگرند، یعنی قرینه هر نقطه Aa,b نسبت به نیمساز ربع اول و سوم، نقطه Bb,a است:

a,bfb,af1

بنابراین دو تابع  معکوس یکدیگر هستند.

دریافت مثال

نکته

هرگاه خط y=x محور تقارن یک تابع یا رابطه باشد، معکوس آن تابع یا رابطه برابر خود آن تابع یا رابطه است. 

توابعی مانند y=1x یا xn+yn=a از این قبیل هستند. 

بنابراین شرط لازم و کافی برای آن‌که معکوس تابعی، خود تابع باشد، آن است که:

xDf  ;   fofx=x

نقاط تلاقی تابع و تابع معکوس

برای تعیین نقاط تلاقی تابع و تابع معکوس، باید از روی fx=f1x معادله تقاطع را یافته سپس این معادله را حل می‌کنیم.

در این صورت ریشه‌های معادله تقاطع یا ریشه‌های ساده هستند یا ریشه‌های مضاعف.

حالت اول: به‌ازای ریشه‌های ساده معادله تقاطع، نمودار  f و f-1  در آن نقاط  هم‌دیگر را قطع می‌کنند.

1- اگر نمودار  f و f-1 متقاطع باشند و f اکیدا صعودی باشد، محل تقاطع آن با f-1  حتما بر روی نیمساز ناحیه اول و سوم می‌باشد.

در نمودار زیر،  توابع fx=x3f1x=x3 اکیدا صعودی هستند و محل تقاطع دو تابع ، بر روی نیمساز ناحیه اول و سوم می‌باشد:

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

نکته

برای یافتن مختصات نقاط تلاقی توابع  f و f-1 اگر معادله fx=f1x به سادگی قابل حل نبود، می‌توان مختصات نقاط تلاقی یکی از دو تابع را با نیمساز ربع اول و سوم به‌دست آورد، زیرا می‌دانیم اگر  f و f-1 هم‌دیگر را قطع کنند، حتما این اتفاق روی نیمساز ناحیه اول وسوم به معادله y=x می‌افتد.   

 2- اگر نمودار  f و f-1 متقاطع باشند و f اکیدا نزولی باشد، محل تقاطع آن با f-1  علاوه بر این‌که می‌تواند روی نیمساز ناحیه اول و سوم باشد، می‌تواند در نقاط دیگری هم واقع شود.   

در نمودار زیر، توابع fx=x3f1x=x3 اکیدا نزولی هستند و محل تقاطع دو تابع، علاوه بر روی نیمساز ناحیه اول و سوم، در نقاط دیگری هم واقع می‌باشد.    

تابع وارون - تابع معکوس - پیمان گردلو

حالت دوم: به‌ازای ریشه‌های مضاعف در معادله تقاطع، نمودار  f و f-1  در آن نقاط، بر هم مماس هستند.

دریافت مثال

نقطه ثابت یک تابع

تعریف: عدد x0 را یک نقطه ثابت تابع f می‌نامیم، هرگاه:

fx0=x0

برای تعیین نقاط ثابت یک تابع، کافی است ریشه‌های معادله fx=x را پیدا کنیم، یعنی تلاقی fx را با خط y=x مشخص کنیم.

یادآوری

اگر تابع f دارای نقطه یا نقاطی ثابت باشد، f-1 معکوس آن نیز همان نقاط ثابت را داراست و این نقاط ثابت روی نیمساز ربع اول و سوم می‌باشد، بنابراین وقتی نمودارهای تابع و تابع معکوس روی خط y=x متقاطع‌اند که تابع f دارای نقطه یا نقاط ثابت باشد.    

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع وارون یا معکوس (خواص)

8,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید