سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع مثلثاتی (تانژانت)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 33 مرتبه

رسم تابع مثلثاتی تانژانت

تابع fx=tanx را در بازه π2,π2 رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

اکیدا یکنوایی تابع مثلثاتی تانژانت

برای بررسی یکنوایی و اکیدا یکنوایی، تابعfx=tanxرا در بازه π2,π2 رسم می‌کنیم:

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

  • وقتی که x از 0 تا π2 افزایش می‌یابد، مقدار y=tanx از 0 تا مثبت بی‌نهایت افزایش می‌یابد. (اکیدا صعودی)
  • وقتی که x از 0 تا -π2 کاهش می‌یابد، مقدار y=tanx از 0 تا منفی بی‌نهایت کاهش می‌یابد. (اکیدا صعودی

تابع مثلثاتی fx=tanx و دایره مثلثاتی 

در شکل زیر نمودار تابع y=tanx رسم شده است: 

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

بر طبق دایره مثلثاتی زیر، داریم:

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

1- در ربع اول تغییرات تانژانت در بازه 0,+ افزایشی است.

وقتی مقادیر x از صفر شروع شوند و به ‌طور مداوم افزایش یابند تا به π2 نزدیک شوند، مقادیر tanx در این جهت افزایش می‌یابند، زیرا همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با افزایش زاویه x ضلع زاویه‌‌ x جهت مثبت محور تانژانت را در طول بزرگ‌تری قطع می‌کند.

از روی شکل مشخص است که با افزایش x ها، tanx ها افزایش می‌یابد. 

x1,x2Df    ;    x2>x1tanx2>tanx1

بنابراین fx=tanx در این بازه اکیدا صعودی است و کمان زوایه π2 محور تانژانت را در بی‌نهایت قطع می‌کند.(دو خط موازی) 

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

2- در ربع سوم تغییرات تانژانت در بازه 0,+ افزایشی است و مطالب ذکر شده در بالا، در مورد ربع سوم صادق است. 

3- در ربع چهارم تغییرات تانژانت در بازه ,0 افزایشی است.

وقتی مقادیر x از صفر شروع شوند و به‌طور مداوم کاهش یابند تا به -π2 نزدیک شوند، مقادیر tanx در این جهت کاهش می‌یابند، زیرا همان‌طور که مشاهده می‌کنید، با کاهش زاویه x ضلع زاویه‌‌ x جهت منفی محور تانژانت را در طول بزرگ‌تری قطع می‌کند.

از روی شکل مشخص است که با کاهش x ها، tanx ها کاهش می‌یابد. 

x1,x2Df    ;    x2<x1tanx2<tanx1

بنابراین تابع در این بازه اکیدا صعودی است. در تمام بازه π2,π2‌ تانژانت صعودی است. 

4- در ربع دوم تغییرات تانژانت در بازه ,0 افزایشی است و مطالب ذکر شده در بالا، در مورد ربع دوم صادق است. 

تمرین

در دایره مثلثاتی زیر، خط TAT' در نقطه A بر محور کسینوس‌ها عمود است.

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

زاویه α را در ربع اول دایره مثلثاتی در نظر می‌گیریم و پاره خط OM را امتداد می‌دهیم تا این خط را در نقطه M' قطع کند. نشان دهید:tanα=AM'=b 

tanα=AM'OA=AM'1=AM'=b   ;   OA=1


می‌توان دید که تانژانت هر زاویه دلخواه مانند α به همین ترتیب از برخورد امتداد ضلع دوم آن زاویه با خط TAT' تعیین می‌شود. بنابراین  این خط، را محور تانژانت می‌نامیم.


نقطه 
A مبدا این محور است و جهت مثبت محور، از پایین به سمت بالا است.

چرا تانژانت زوایایی که انتهای کمان آنها در ربع اول و سوم قرار دارد، مقداری مثبت و تانژانت زوایایی که انتهای کمان آنها در ربع دوم و چهارم قرار دارد، مقداری منفی است؟

تانژانت زوایایی که انتهای کمان آنها در ربع اول و سوم هستند و امتداد آن، قسمت بالای محور تانژانت راقطع می‌کنند اما تانژانت زوایایی که انتهای کمان آنها در ربع دوم و چهارم هستند و امتداد آن قسمت پایین محور تانژانت را قطع می‌کنند.

آیا مقدار π2 عددی حقیقی است؟ 3π2 چطور؟ به کمک شکل، پاسخ خود را توجیه کنید.

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو


در شکل سمت راست وقتی α مقدار π2 را طی می‌کند کمان آبی رنگ، محور AT را در بی‌نهایت قطع می‌کند و tanπ2 عدد تعریف شده‌ای نیست.


در شکل سمت چپ وقتی α مقدار 3π2 را طی می‌کند کمان آبی رنگ، محور AT' را در بی‌نهایت قطع می‌کند و tan3π2 عدد تعریف شده‌ای نیست.

یک به یکی و معکوس پذیری تابع مثلثاتی تانژانت

تابع fx=tanx در دامنه‌اش که به‌صورت زیر تعریف می‌شود، یک به یک نیست:

Df=Rxx=kπ+π2

بنابراین در دامنه خود معکوس پذیر نیست.

اگر دامنه این تابع را محدود کنیم، فواصلی وجود دارند که این تابع در آنها معکوس پذیر می‌باشد، یعنی تحدیدهایی از این تابع  وجود دارد که هر یک از آنها یک به یک می‌باشند، در زیر آنها را بررسی می‌کنیم.

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

اما مشاهده می‌کنیم که تابع در هر یک از فواصل .... و π2,π2 و π2,3π2 و .... در نظر گرفته شود، یک به یک و اکیدا صعودی است.

قضیه

تابع مثلثاتی fx=tanx در فاصله π2,π2 یک به یک است.   

اثبات

fx1=fx2tanx1=tanx2x1=kπ+x2x1x2=kπ


if     k=0x1x2=0x1=x2

  طبق قرارداد، فاصله π2,π2 را برای تابع fx=tanx فاصله اصلی، تعریف می‌کنیم.

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

تعریف: تابع f:π2,π2Rfx=tanx در فاصله اصلی π2,π2 یک به یک است، در نتیجه معکوس پذیر است. 

بررسی زوج و فرد بودن تابع مثلثاتی تانژانت

تابع مثلثاتی fx=tanx در دامنه تعریفش یعنی R تابعی فرد است و مبدا مختصات، مرکز تقارن این تابع است.

xRxRfx=tanx=tanx=fx

بررسی دوره‌ تناوب تابع مثلثاتی تانژانت

نشان می‌دهیم که T=π یک دوره تناوب برای تابع fx=tanx است. طبق تعریف توابع متناوب داریم:‌ 

Df=RxDfx+πDffx=tanxfx+π=tanx+πfx+π=tanxfx+π=fx

تابع مثلثاتی تانژانت - پیمان گردلو

برای ارسال نظر وارد سایت شوید