سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع مثلثاتی (محاسبه برد)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 39 مرتبه

برد تابع مثلثاتی

تعیین برد تابع به‌کمک دامنه

در تابع y=fx اگر بتوانیم x را بر حسب y به‌صورت x=gy به‌دست آوریم، تغییرات y یعنی دامنه g همان برد تابع f می‌باشد.

در این مرحله، برد f بر اساس دامنه f به‌دست می‌آید و بدیهی است y هایی که به‌ازای آنان مقدار x حقیقی است، برد تابع را تشکیل می‌دهند.

تمرین

برد تابع زیر را به‌دست آورید:

y=12sinx1

به واسطه مهم بودن مساله، دامنه تابع را مجددا به‌دست می‌آوريم:

2sinx1>02sinx>1sinx>12Df=x|2kπ+π6<x<2kπ+5π6



به محاسبه برد می‌پردازیم. شرط اولیه:

y>0y=12sinx1y2=12sinx12y2sinxy2=12y2sinx=1+y2sinx=1+y22y2


توجه كنيد كه همواره 1sinx1 است اما در اين تمرین با توجه به ضابطه 12<sinx1 داریم:

12<sinx112<1+y22y21y2<y2+12y2y2+1>y2yR y2+12y21y2y1y1y1y1y1y>0Rf=1,+

دریافت مثال

تعیین برد تابع به کمک برخی از نامساوی‌های مثلثاتی

با استفاده از نامساوی‌های زیر، برد برخی از توابع مثلثاتی را به‌دست می‌آوریم:

0sin2x1    ;    0cos2x1

a2+b2asinx+bcosxa2+b2

اثبات

y=asinx+bcosxya2+b2=aa2+b2sinx+ba2+b2cosx    ;    aa2+b2=cosαba2+b2=sinαya2+b2=sinx.cosα+cosx.sinαya2+b2=sinx+α

if   1sinx+α11ya2+b21a2+b2ya2+b2a2+b2asinx+bcosxa2+b2

12n1sin2nx+cos2nxn     ;    nN

0<sin2nx+cos2nxn    ;    n,mN

1<sinxn+cosxm<2    ;    0<x<π2  ,  m,nN   ,   m,n2

12sinax+cosax12

tanx+cotgx2

در نامساوی فوق، انتهای کمان در ربع اول یا سوم می‌باشد و می‌توانیم نامساوی زیر را نتیجه بگیریم:

x0,π2π,3π2    :  atanx+bcotgx2ab   

tanx+cotgx2

در نامساوی فوق، انتهای کمان در ربع دوم یا چهارم می‌باشد و می‌توانیم نامساوی زیر را نتیجه بگیریم:

xπ2,π3π2,2π    :  atanx+bcotgx2ab   

تمرین

برد تابع زیر را به‌دست آورید:

fx=sin2x4sinx+5

sin2x4sinx+5=sin2x4sinx+4+1=sinx22+1    ;    Df=R


1sinx13sinx211sinx2292sinx22+1102fx10Rf=2,10

دریافت مثال

تعیین برد تابع به‌کمک مربع کامل

برای تعیین برد توابعی که با ضابطه زیر بیان شده است:  

fx=x2n±kxn

به‌کمک مربع کامل، تابع فوق به فرم زیر تبدیل می‌شود و می‌توانیم برد بعضی از توابع را به‌دست آوریم:

fx=x2n±kxn=xn±k22k24

توابعی که می‌توانند از مطلب فوق تبعیت کنند به‌صورت زیر است:

fx=asin2nx+bsinnx+crfx=acos2nx+bcosnx+crfx=atan2nx+btannx+crfx=acotg2nx+bcotgnx+crfx=acos2x+bsinx+cfx=asin2x+bcosx+cfx=asinnx+bfx=asinnx+brfx=acosnx+bfx=acosnx+brfx=atannx+br

تمرین

برد تابع زیر را به‌دست آورید: 

fx=sin2xsinx

fx=sin2xsinx=sinx12214=sinx12214if   sinx=1fx=112214=0minfx=0if   sinx=1fx=112214=2maxfx=20fx2Rf=0,2

دریافت مثال

تعیین ماکزیمم و مینیمم بعضی عبارات مثلثاتی

برای تعیین max و min عبارات زیر باید به‌جای sinx یا cosx اعداد 1,1 را قراردهیم، زیرا: 

acosxbasinxb

1sinx,cosx1

برای تعیین max و min عبارات زیر باید به‌جای sin2x یا cos2x اعداد 0,1 را قراردهیم، زیرا: 

acos2xbasin2xb

1sinx,cosx1

برای تعیین max و min عبارات زیر باید به‌جای sinx یا cosx اعداد ba,1,1 را قرار دهیم، زیرا: 

acosxbasinxb

1ba1

برای تعیین max و min عبارات زیر علاوه بر مربع کامل، می‌توان به‌جای sinx یا cosx اعداد -b2a,1,1 قرار داد و حداکثر و حداقل مقدار تابع را یافت.

acos2x+bcosx+casin2x+bsinx+c

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع مثلثاتی (محاسبه برد)

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید