سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع یکنوا و اکیدا یکنوا (نکات و قضایا)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 41 مرتبه

نکات توابع یکنوا و اکیدا یکنوا

1- تابع y=fx را در فاصله a,b اکیدا یکنوا گویند، هرگاه تابع اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی باشد.

2- تابع y=fx را در فاصله a,b یکنوا گویند، هرگاه تابع صعودی یا نزولی باشد.

3- از لحاض هندسی، اگر نمودار یک تابع در یک بازه، دارای خط های مماس با شیب‌های مثبت باشد، آن‌گاه روی آن بازه، اکیدا صعودی است و اگر شیب خط‌های مماس منفی باشد، تابع اکیدا نزولی است.

توابع یکنوا و اکیدا یکنوا - پیمان گردلو

دریافت مثال

4- از لحاظ هندسی، فرق بین تابع اکیداً یکنوا و یکنوا در آن است که:

  • در تابع یکنوا (صعودی یا نزولی) هر خط به موازات محور x ها، نمودار تابع را حداقل در دو نقطه قطع می‌کند.
  • در تابع اکیدا یکنوا (اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی) هر خط به موازات محور x ها، نمودار تابع را فقط در یک نقطه قطع می‌کند.

دریافت مثال

5- تابعy=fxرا در فاصلهa,bثابت گویند، هرگاه داشته باشیم:

x1  ,  x2a,b     ;    if   x1<x2fx1=fx2

نمودار این تابع، همواره خط fx=c به موازات محور x هاست. این تابع هم صعودی است و هم نزولی است.

توابع یکنوا و اکیدا یکنوا - پیمان گردلو 

6- روش تشخیص توابع صعودی و نزولی

در تابعy=fx اگرx1,x2Dffx1,fx2Rfباشد، آن‌گاه، بنا به تعریف:

x را نمو  xیا نمو متغیر مستقل و y را نمو  y یا نمو تابع می‌نامند و داریم:

Δx=x2x1Δy=fx2fx1

از تعریف تابع صعودی و نزولی معلوم می‌شود که اگر، در بازه‌ای مانند a,b داشته باشیم:

  • اگر yx>0 باشد، آن‌گاه تابع y=fx در بازه a,b صعودی است.   
  • اگر yx<0 باشد، آن‌گاه تابع y=fx در بازه a,b نزولی است.  

تمرین

نشان دهید تابع با ضابطه زیر، صعودی است:

fx=2x+1

x1,x2Df  :fx1=2x1+1fx2=2x2+1ΔyΔx=fx2fx1x2x1=2x2+12x1+1x2x1=2>0

7- درتعیین برد بعضی از توابع y=fx که در فاصله a,b، پیوسته و اکیدا یکنوا باشند، داریم:

در توابع اکیدا صعودی: 

if   Df=a,bRf=fa,fb

توابع یکنوا و اکیدا یکنوا - پیمان گردلو

در توابع اکیدا نزولی: 

if   Df=a,bRf=fb,fa

توابع یکنوا و اکیدا یکنوا - پیمان گردلو

تمرین

برد تابع زیر را به‌دست می‌آوریم:

fx=x+1+4x2

Df:x20x2x+1+4x20x2+221xRDf=2,+


تابع اکیدا صعودی است:

Rf=f2,f+=3,+

دریافت مثال

قضایای توابع یکنوا و اکیدا یکنوا

قضیه

اگر توابع f و g روی فاصله a,b اکیدا یکنوا باشند، آن‌گاه تابع f+g در دامنه مشترک‌شان اکیدا یکنوا است.   

اثبات

قضیه فوق را برای اکیدا صعودی بودن، ثابت می‌کنیم، اثبات اکیدا نزولی بودن هم به‌همین ترتیب است:

فرض آن است که توابع f و g هر دو اکیدا صعودی هستند:  

x1  ,  x2Df     ;    if  x2>x1fx2>fx1x1  ,  x2Dg    ;    if  x2>x1gx2>gx1

می‌خواهیم ثابت کنیم تابع f+g اکیدا یکنوا است.

طرفین نامساوی‌های فرض را با هم جمع می‌کنیم:

x1  ,  x2DfDg    ;    if  x2>x1fx2+gx2>fx1+gx1f+gx2>f+gx1

نکته

اگر توابع f و g در دامنه‌شان اکیدا نزولی باشند، آن‌گاه تابع f+g در دامنه مشترک‌شان اکیدا نزولی است.

درباره اکیدا یکنوایی fg , f×g , f-g نمی‌توان نتیجه‌گیری کلی کرد.

اگر توابع f و g در دامنه‌شان یکی صعودی و دیگری اکیدا صعودی باشند، آنگاه تابع f+g در دامنه مشترک‌شان، اکیدا صعودی است.  

اگر توابع f و g در دامنه‌شان یکی نزولی و دیگری اکیدا نزولی باشند، آن‌گاه تابع f+g در دامنه مشترک‌شان، اکیدا نزولی است.  

ممکن است توابع f و g در دامنه‌شان هر دو صعودی باشند اما تابع f+g در دامنه مشترک‌شان اکیدا صعودی باشد.   

iff=2,3,3,3,4,5ifg=2,4,4,4,5,6  f+g=2,7,4,9

قضیه

اگر f تابعی صعودی (یا نزولی) باشد، آنگاه -f تابعی نزولی (یا صعودی) است.  

اثبات

فرض کنیم f تابعی صعودی باشد:

x1  ,  x2A      ;      if  x2>x1fx2fx1fx2fx1


توابع یکنوا و اکیدا یکنوا - پیمان گردلو

نکته

اگر f تابعی نزولی (یا صعودی) باشد، آن‌گاه -f تابعی صعودی (یا نزولی) است.  

اگر f تابعی صعودی و g تابعی نزولی باشد، آن‌گاه g-f تابعی نزولی است.  

قضیه

اگر توابع f و g روی دامنه‌شان هر دو صعودی و مثبت باشند، آن‌گاه تابع f×g در دامنه مشترک‌شان صعودی است.  

اثبات

فرض آن است که توابع f و g هر دو صعودی و مثبت هستند:  

x1  ,  x2Df     ;    if  x2>x1fx2fx1x1  ,  x2Dg    ;    if  x2>x1gx2gx1

می‌خواهیم ثابت کنیم تابع f×g صعودی است.

طرفین نامساوی‌های فرض را درهم ضرب می‌کنیم:

x1  ,  x2DfDg    ;    if  x2>x1fx2×gx2fx1×gx1f×gx2f×gx1

تمرین

آیا تابع زیر در بازه 0,+ صعودی است؟ 

y=xx

تابع y=x به ازای x0 صعودی است.

تابع y=x به ازای x0 صعودی است.

تابع y=xx که حاصل ضرب دو تابع فوق است، صعودی است.

قضیه

اگر توابع f و g روی دامنه‌شان هر دو نزولی و منفی باشند، آن‌گاه تابع f×g در دامنه مشترک‌شان صعودی است.  

اثبات

فرض آن است که توابع f و g هر دو نزولی و منفی هستند:

x1  ,  x2Df     ;    if  x2>x1fx2fx1-fx2-fx1x1  ,  x2Dg    ;    if  x2>x1gx2gx1-gx2-gx1

می‌خواهیم ثابت کنیم تابع f×g صعودی است.

طرفین نامساوی های فرض را درهم ضرب می‌کنیم:

x1  ,  x2DfDg    ;    if  x2>x1fx2×gx2fx1×gx1f×gx2f×gx1

نکته

اگر توابع f و g روی دامنه‌شان هر دو صعودی و منفی باشند، آن‌گاه تابع f×g در دامنه مشترک‌شان نزولی است.  

قضیه

اگر توابع f و g هر دو صعودی باشند، آن‌گاه ترکیب این دو تابع یعنی fog صعودی است.

اثبات

فرض آن است که توابع f و g هر دو صعودی هستند: 

x1  ,  x2Df     ;    if  x2>x1fx2fx1x1  ,  x2Dg    ;    if  x2>x1gx2gx1

می‌خواهیم ثابت کنیم تابع fog صعودی است.

x1<x2gx1gx2fgx1fgx2fogx1fogx2

تمرین

اگر دو تابع زیر صعودی باشند، نشان دهید ترکیب این دو تابع، صعودی است:

fx=2xgx=x+2

fogx=fgx=2x+2=2x+4

قضیه

اگر توابع f و g هر دو نزولی باشند، آن‌گاه ترکیب این دو تابع یعنی fog صعودی است.

اثبات

فرض آن است که توابع f و g هر دو نزولی هستند: 

x1  ,  x2Df     ;    if  x2>x1fx2fx1x1  ,  x2Dg    ;    if  x2>x1gx2gx1

می‌خواهیم ثابت کنیم تابع fog صعودی است.

تابع g نزولی است:

x1<x2gx1gx2

تابع f نزولی است:

fgx1fgx2fogx1fgx2

تمرین

اگر دو تابع زیر نزولی باشند، نشان دهید ترکیب این دو تابع، صعودی است:

fx=2xgx=x+2

fogx=fgx=-2-x+2=2x-4

قضیه

اگر توابع f و g  به‌ترتیب صعودی و نزولی باشند، آن‌گاه ترکیب این دو تابع یعنی fog نزولی است.

اثبات

فرض آن است که تابع f صعودی و تابع g نزولی هستند: 

x1  ,  x2Df     ;    if  x2>x1fx2fx1x1  ,  x2Dg    ;    if  x2>x1gx2gx1

می‌خواهیم ثابت کنیم تابع fog نزولی است.

تابع g نزولی است:

x1<x2gx1gx2

تابع f صعودی است:

fgx1fgx2fogx1fgx2

تمرین

تابع f صعودی و تابع g نزولی هستند، نشان دهید ترکیب این دو تابع، نزولی است:

fx=2xgx=x+2

fogx=fgx=2x+2=2x+4

دریافت مثال

قضیه

اگر تابع f روی بازه‌های a,b,b,c اکیدا صعودی (یا صعودی) و در b پیوسته باشد، آن‌گاه f در a,c اکیدا صعودی (یا صعودی) است.   

این قضیه در مورد توابع اکیدا نزولی (یا نزولی) هم درست است.

اثبات

کافی است نشان دهیم:

x1a,bx2b,c   if  x1<x2fx1<fx2


تابع f در بازه a,b اکیدا صعودی است: 

x1a,bx1<bfx1<fb    ;    Ι


تابع f در بازه b,c اکیدا صعودی است: 

x2b,cb<x2fb<fx2    ;    ΙΙ


Ι,ΙΙfx1<fb<fx2fx1<fx2

نکته

1- شرط پیوستگی f در نقطه b اساسی است.

تابع f که نمودارش در شکل زیر رسم شده را نظر بگیرید:

توابع یکنوا و اکیدا یکنوا - پیمان گردلو

تابع f در هر یک از بازه‌های b,c  ,  a,b اکیدا صعودی است ولی در بازه a,c اکیدا صعودی نیست. 


2- 
در تعیین تغییرات توابع ناپیوسته، ممکن است توابع روی یک مجموعه نقاط تعریف شده باشند یا روی قطعه‌ای یا نقاطی تعریف شده و روی قطعه یا نقاط دیگری تعریف نشده باشند، باید به این نکته توجه داشته باشیم که وقتی هدف کل دامنه تابع است، باید تعریف در تمام این دامنه صادق باشد. 

توابعی که نمودارشان در زیر رسم شده‌اند را نظر بگیرید:

توابع یکنوا و اکیدا یکنوا - پیمان گردلو

در شکل (1) تابع روی هر یک از بازه‌های d,b,a,c اکیدا صعودی است، حتی روی مجموعه نقاط c,e,r,d اکیدا صعودی است و با توجه به شکل، روی مجموعه a,ce,rd,b اکیدا صعودی است.

در شکل (2) تابع روی هر یک از بازه‌های c,b,a,c اکیدا صعودی است، اما روی a,b اکیدا صعودی یا حتی صعودی هم نیست. 


3-
 ممکن است تابعی در دامنه‌اش نه صعودی باشد و نه نزولی، ولی در بازه‌هایی از دامنه‌اش صعودی و در بازه‌هایی نزولی باشد.

تابع f که نمودارش در شکل زیر رسم شده را نظر بگیرید:

توابع یکنوا و اکیدا یکنوا - پیمان گردلو

تابع f در بازه های 0,+,,0 اکیدا صعودی است، اما این تابع در دامنه‌اش یعنی R اکیدا صعودی نیست.  

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع یکنوا و اکیدا یکنوا (نکات و قضایا)

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید