سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع زوج و تابع فرد (نکات)

آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:

قضیه

تنها تابعی كه هم زوج است و هم فرد است:

تابع fx=0 تنها تابعی كه هم زوج است و هم فرد است.

اثبات

اگر تابع fx زوج باشد، داریم:  f-x=fx

اگر تابع fx فرد باشد، داریم:  f-x=-fx

طرفین سمت چپ تساوی‌های فوق مساویند، بنابراین طرفین سمت راست تساوی‌ های فوق هم با هم مساویند:

fx=fxfx+fx=02fx=0fx=0

دریافت مثال

قضیه

حاصل جمع دو تابع که یكی زوج و دیگری فرد است:

هر تابع fx با دامنه متقارن نسبت به مبدا که نه زوج است و نه فرد، را می‌توان به صورت حاصل جمع دو تابع نوشت كه یكی فرد و دیگری زوج باشد.  

fx=12fx+fx+12fxfx

اثبات

فرض می‌كنیم تابع fx با دامنه Df نسبت به مبدا، متقارن باشد. 

دو تابع g و h را که g زوج است و h فرد است را چنان پیدا می‌كنیم كه fx=hx+gx باشد.    

gx=gxhx=hx

fx=gx+hxfx=gx+hxfx=gx+hxfx=gxhxgx=12fx+fxhx=12fxfx

fx=gx+hx=12fx+fx+12fxfx

تذکر

تابع gx=fx+fx2 زوج است:

gx=fx+fx2=fx+fx2=gx

تابع hx=fx-fx2 فرد است:

hx=fxfx2=fxfx2=fxfx2=fxfx2=hx

دریافت مثال

تقارن در توابع زوج

1- هرگاه تابعی زوج باشد، محور y محور تقارن آن است.

تمرین

زوج بودن تابع زیر را بررسی می‌کنیم: 

y=fx=x2

Df=RΙ)    xDfxDfΙΙ)  fx=x2=x2=fx


تابع زوج است.

نمودار این تابع را در دامنه‌اش رسم می‌کنیم:


تابع زوج و فرد - پیمان گردلو

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در نمودار تابع فوق، محور y محور تقارن آن است، زیرا تابع زوج است.

دریافت مثال

 2- در تابع زوج به‌ازای هر نقطه Ax,yf قرینه‌ آن نسبت به محور y ها یعنی A'x,yf روی نمودار تابع می‌باشد: 

if    Ax,yfA'x,yf

دریافت مثال

3- برای تعیین برد توابع زوج، کافی است به‌ازای x های مثبت یا صفر برد را تعیین می‌کنیم، به ازای x های منفی، برد همان است، زیرا محور y محور تقارن آن است.

دریافت مثال

4- برای رسم نمودار توابع زوج، نمودار آن را برای x0 رسم کرده و قرینه آن را نسبت به محور y ها به‌دست می‌آوریم و به آن می‌افزاییم.

تمرین

نمودار تابعی به‌شکل زیر می‌باشد:

تابع زوج و فرد - پیمان گردلو

نمودار را طوری تکمیل می‌کنیم که نمودار جدید، یک تابع زوج را نمایش دهد.

برای رسم نمودار جدید، کافی است قرینه‌ نمودار فوق را نسبت به محور y ها رسم کنیم.


تابع زوج و فرد - پیمان گردلو

 5- تابع ثابت fx=c با دامنه متقارن، تابعی زوج است.

تابع زوج و فرد - پیمان گردلو

از روی شکل می‌توان دریافت که دامنه‌ تابع متقارن است، زیرا Df=R است.

تابع زوج است، زیرا محور y ها محور تقارن آن است.

6- نمودار یک تابع نمی‌تواند نسبت به محور x ها متقارن باشد.

تابع زوج و فرد - پیمان گردلو

در شکل فوق، هر خط به موازات به محور y نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع می‌کند، بنابراین نمودار فوق تابع نیست.

7-  در تابع چند جمله ای زیر  اگر تمام جملات از درجه زوج باشند و هیچ جمله‌ ای با درجه فردی موجود نباشد، آن چند جمله‌ ای زوج خواهد بود:

fx=axn+bxn1++L

تمرین

زوج بودن تابع زیر را بررسی می‌کنیم:

fx=x4+x2+3

دامنه‌ تابع متقارن است، زیرا Df=R است.

f-x=-x4+-x2+3=x4+x2+3=fx

دریافت مثال

تقارن در توابع فرد

1- هرگاه تابعی فرد باشد، مبدا مختصات، مرکز تقارن آن است.

تمرین

فرد بودن تابع زیر را بررسی می‌کنیم: 

y=fx=x3

Df=RΙ     xDfxDfΙΙ     fx=x3=x3=fx


تابع فرد است.

نمودار این تابع را در دامنه‌اش رسم می‌کنیم:


تابع زوج و فرد - پیمان گردلو

همان‌طور که مشاهده می‌کنید، در نمودار تابع فوق، مبدا مختصات، مرکز تقارن آن است و تابع فرد است.

دریافت مثال

 2- هرگاه تابعی فرد باشد، مبدا مختصات، مرکز تقارن تابع است و به‌ازای هر نقطه Ax,yf قرینه آن نقطه نسبت به مبدا مختصات (مرکز تقارن) نقطه A'x,yf روی نمودار است.

if    Ax,yfA'x,yf

دریافت مثال

3- برای تعیین برد توابع فرد، کافی است به‌ازای x های مثبت یا صفر برد را تعیین می‌کنیم، به‌ازای x های منفی، قرینه‌های آنها را بیابیم. در توابع فرد، برد نسبت به مبدا، مجموعه‌ای متقارن است.

دریافت مثال

4- برای رسم نمودار توابع فرد، نمودار آن را برای x0 رسم کرده و قرینه آن را نسبت به مبدا مختصات به‌دست می‌آوریم و به آن می‌افزاییم.

تمرین

نمودار تابعی به شکل زیر می‌باشد:

تابع زوج و فرد - پیمان گردلو

نمودار را طوری تکمیل می‌کنیم که نمودار جدید، یک تابع فرد را نمایش دهد.

برای رسم نمودار جدید، کافی است قرینه‌ نمودار فوق را نسبت به مبدا مختصات، به‌دست آوریم.


تابع زوج و فرد - پیمان گردلو

 5- شرط لازم برای آن‌که تابع f فرد باشد، آن است که f0=0 یا تابع در x=0 تعریف نشده باشد و این شرط، شرط  لازم است و نه کافی.

0Dff0=f0f0=f0f0+f0=02f0=0f0=0

تذکر

اگر در تابعی f0=0 باشد، ممکن است f فرد نباشد، مانند fx=x4+x    

اگر تابعی فرد باشد و صفر در دامنه آن باشد، حتما f0=0 است، مانند fx=x3+x

تمرین

فرد بودن توابع زیر را بررسی کنید:

fx=x3+x+1

تابع فوق فرد نیست، زیرا f0=1

fx=1x    ;    x01      ;    x=0  

تابع فوق فرد نیست، زیرا f0=1

fx=   1     ;    x>0       0    ;    x=0     1    ;    x<0      

تابع فرد است زیرا اولا f0=0 ثانیا بر اساس نمودارش، مبدا مختصات، مرکز تقارن است. 

دریافت مثال

 6- در تابع چند جمله‌ ای زیر اگر تمام جملات از درجه فرد باشند و مقدار ثابت چند جمله‌ای صفر باشد، چند جمله‌ ای فرد می‌باشد، بنابراین بایستی تمام ضرایب جملات شامل توان‌‌های زوج x برابر صفر باشند:

fx=axn+bxn1++L

L=0f0=0

دریافت مثال

بررسی زوج یا فرد بودن توابع چند ضابطه‌ای

قضیه

فرض کنیم A مجموعه‌ای از اعداد حقیقی و B مجموعه قرینه‌های این اعداد باشد و تابع f به‌صورت زیر تعریف شده باشد:

fx=gx    ;    xAhx    ;    xB

در این صورت:

اگر g-x=hx یا h-x=gx باشد، آن‌گاه f زوج است.

اگر gx=-h-x یا hx=-g-x باشد، آن‌گاه f فرد است.

اثبات

اثبات قسمت (ب):

xA      xB  fx=fxfx=fxxA  ,  fx=gxxB  ,  fx=hx

gx=fxgx=fx    ;    fx=fxgx=hx     ;    fx=hx

نکته

اگر ضابطه یا نمودار تابع f روی مجموعه A یا B معلوم باشد و f فرد یا زوج باشد، ضابطه یا نمودار آن روی مجموعه B نیز مشخص است. از این خاصیت در مشخص کردن فرد یا زوج بودن توابع دو ضابطه استفاده می‌شود. 

دریافت مثال

 اعمال جبری روی توابع زوج و فرد

قضیه

مجموع دو تابع زوج، تابعی زوج است.

اثبات

فرض می‌کنیم دو تابع f و g زوج باشند:

fx=fxgx=gx

می‌خواهیم ثابت کنیم:

f+gx=f+gx

f+gx=fx+gx=fx+gx=f+gx

قضیه

حاصل ضرب دو تابع زوج، تابعی زوج است.

اثبات

فرض می‌کنیم دو تابع f و g زوج باشند:

fx=fxgx=gx

می‌خواهیم ثابت کنیم:

f×gx=f×gx

f×gx=fx×gx=fx×gx=f×gx

قضیه

حاصل ضرب دو تابع فرد، تابعی زوج است.

اثبات

فرض می‌کنیم دو تابع f و g  فرد باشند:

fx=-fxgx=-gx

می‌خواهیم ثابت کنیم:

f×gx=f×gx

f×gx=fx×gx=fx×gx=fx×gx=f×gx

قضیه

اگر تابع f فرد و تابع g زوج باشد، تابع f+g نه فرد است و نه زوج.  

اثبات

فرض می‌کنیم :

fx=-fxgx=gx

f+gx=fx+gx=fx+gx=gxfx=gfx

تابع f+g نه فرد است و نه زوج.

دریافت مثال

یادآوری

تمام نکاتی که در زیر بیان شده است، به‌وسیله تعریف توابع زوج و فرد به راحتی قابل اثبات است.

اگر دو تابع f و g متحد با صفر نباشند و هر دو زوج (یا فرد) باشند، f±g زوج (یا فرد) است و f×g و fg زوج است.  

اگر f زوج باشد، توابع fn  ,    af  ,  fn با شرط داشتن دامنه متقارن، زوج است. nN  ,  a0   

اگر f فرد باشد، در صورتی که n زوج (یا فرد) باشد، تابع fn زوج (یا فرد) است و fn اگر n فرد باشد، فرد است. 

fx=fxfnx=fxn=  fnx        ;    n=2k  fnx    ;    n=2k+1

اگر دو تابع f و g متحد با صفر نباشند و یکی فرد و دیگری زوج باشد، f±g نه فرد است و نه زوج، اما f×g و fg و gf فرد است.  

حاصل ضرب یک عدد حقیقی در یک تابع زوج، تابعی زوج است و حاصل ضرب آن در یک تابع فرد، تابعی فرد است.

در توابع fx=x+a+x+bfx=x+a+x+x+b

اگر a+b=0 باشد، توابعی زوج هستند.

تابع fx=x+ax+b وقتی a+b=0 باشد، تابعی فرد است.  

اگر f زوج یا فرد باشد، f همواره زوج است.

ترکیب توابع زوج و فرد

اگر g تابعی زوج و f تابعی دل‌خواه باشد، آن‌گاه fog در صورت وجود زوج است:

fgx=fgx

اما اگر g تابعی فرد باشد، در صورتی که f فرد (یا زوج) باشد، fog فرد (یا زوج) است. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع زوج و تابع فرد (نکات)

6,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید