سرفصل‌های این مبحث

تابع

تابع یک به یک (نکات)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 شهریور 1400
دسته‌بندی: تابع
امتیاز:
بازدید: 46 مرتبه

نکات توابع یک به یک

1- بررسی یکی به یکی توابع چند جمله‌ای

حالت اول:

 توابع چند جمله‌ای از درجه زوج و با دامنه R هرگز یک به یک نمی‌باشند، مگر آن که دامنه آن را محدود کرده باشیم.

تمرین

آیا نمودار توابع چند جمله‌ای زیر، یک به یک است؟ 

تابع یک به یک - پیمان گردلو

از لحاظ هندسی، هر خط به موازات محور x ها، نمودار توابع فوق را در بیش از یک نقطه قطع کرده است و این توابع چند جمله‌ای از درجه زوج، یک به یک نیستند.

حالت دوم: 

توابع چند جمله‌ای از درجه فرد ممکن است یک به یک باشند یا نباشند.

تمرین

آیا نمودار توابع چند جمله‌ای زیر، یک به یک است؟ 

تابع یک به یک - پیمان گردلو

از لحاظ هندسی، هر خط به موازات محور x ها، در نمودار سمت چپ، نمودار تابع فوق را فقط در یک نقطه قطع کرده است و تابع یک به یک است.

از لحاظ هندسی، هر خط به موازات محور x ها، در نمودار سمت راست، نمودار تابع فوق را در بیش از یک نقطه قطع کرده است و تابع یک به یک نیست.

2- بررسی یکی به یکی توابع زوج و فرد

حالت اول:

اگر y=fx تابعی زوج باشد، آن‌گاه یک به یک نیست زیرا حداقل x0 ی وجود دارد به قسمی که:

if  fx=fxxx

تمرین

تابع fx=x2+1 را در نظر می‌گیریم:

آیا تابع مورد نظر همواره تابعی زوج است؟

Df=Rfx=x2+1=x2+1=fx


تابع فوق، تابعی زوج است.

نمودار تابع فوق را رسم کنید.آیا تابع یک به یک است؟ 

تابع یک به یک - پیمان گردلو


همان‌طور که مشاهده می‌شود این تابع یک به یک نیست، زیرا هر خط به موازات محور x ها، نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کرده است.

حالت دوم:

توابع فرد ممکن است یک به یک باشند یا نباشند.

تمرین

آیا نمودار توابع زیر، یک به یک است؟ 

تابع یک به یک - پیمان گردلو

نمودار سمت چپ با ضابطه fx=x3 تابعی فرد است و یک به یک می‌باشد زیرا هر خط به موازات محور x ها، نمودار تابع را فقط در یک نقطه قطع کرده است.

نمودار سمت راست با ضابطه fx=3x-x3 تابعی فرد است و یک به یک نمی‌باشد زیرا هر خط به موازات محور x ها، نمودار تابع را در بیش از یک نقطه قطع کرده است.

3- بررسی یکی به یکی توابع متناوب 

اگر y=fx تابعی متناوب باشد، آن‌گاه f یک به یک نیست زیرا حداقل x ی هست به‌طوری‌که:

fx+T=fxx+Tx

تمرین

تابع fx=cosx را در نظر بگیرید: 

دوره تناوب تابع فوق را به‌دست آورده و نمودار این تابع را رسم کنید. آیا این تابع یک به یک است؟

cosx+2π=cosx

دوره تناوب تابع T=2π می‌باشد.

 نمودار این تابع را رسم می‌کنیم:

تابع یک به یک - پیمان گردلو

از لحاظ هندسی هر خط به موازات محور x ها، نمودار فوق را در بیش از یک نقطه قطع کرده است پس تابع فوق یک به یک نیست.

4- هر تابع درجه دوم fx=ax2+bx+c در هر یک از بازه‌های ,b2a یا b2a,+ اگر در نظر گرفته شود، یک به یک خواهد بود.

تابع یک به یک - پیمان گردلو  

5- اگر f تابعی یک به یک باشد، آن‌گاه توابع با ضابطه‌های زیر، یک به یک هستند.

fx+ccfx  c0fxcfcx

6- بررسی خاصیت یک به یکی برای توابع f:RnRmf:RnRn

اگر تابع f از R2 به R2 مفروض باشد، در این صورت چون DfR2 بنابراین تابع f روی زوج‌های مرتب از R2 اثر کرده و حاصل عمل نیز زوج مرتب منحصر به فرد از R2 خواهد بود.  

if    fx1,y1=fx2,y2x1,y1=x2,y2

دریافت مثال

قضایای توابع یک به یک

قضیه

اگر y=fx تابعی اکیدا یکنوا باشد، آن‌گاه یک به یک است.

اثبات

فرض کنید f اکیدا صعودی باشد: (اثبات حالت اکیدا نزولی هم به‌همین ترتیب است.) 

x1,x2Df    ;    ifx1<x2fx1<fx2

از گزاره شرطی فوق می‌توانیم نتیجه زیر را بگیریم:

x1,x2D    ;    if   x1x2fx1fx2

گزاره شرطی فوق، معادل گزاره شرطی زیر است:

x1,x2D    ;    iffx1=fx2x1=x2

گزاره شرطی فوق نشان می‌دهد که تابع y=fx یک به یک است.

تمرین

تابع با ضابطه fx=x3 مفروض است.

نمودار تابع فوق را رسم کنید و نشان دهید اکیدا صعودی است.

تابع یک به یک - پیمان گردلو


در نمودار فوق، با افزایش x ها مقدار y هایش افزایش می‌یابد و بر عکس، بنابراین تابع اکیدا صعودی است. 

آیا تابع فوق، یک به یک است؟

از لحاظ هندسی هر خط به موازات محور x ها، نمودار را فقط در یک نقطه قطع کرده است پس تابع فوق یک به یک است.

نکته

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست، یعنی ممکن است تابعی یک به یک باشد، اما اکیدا یکنوا نباشد.

تمرین

تابع با ضابطه     1x    ;   x11x    ;   x<1 را در نظر بگیرید.

نمودار این تابع را رسم کنید و نشان دهید تابع یک به یک است اما اکیدا یکنوا نیست.

تابع یک به یک - پیمان گردلو


از روی نمودار مشخص است که  تابع یک به یک است اما اکیدا یکنوا (اکیدا صعودی یا اکیدا نزولی) نیست.

تمرین

تابع gx=x در نظر بگیرید: 

به روش هندسی نشان دهید تابع فوق یک به یک است:

تابع یک به یک - پیمان گردلو


از لحاظ هندسی هر خط به موازات محور x ها، نمودار فوق را فقط در یک نقطه قطع کرده است، پس تابع فوق یک به یک است.

به روش جبری نشان دهید تابع فوق یک به یک است:

if  gx1=gx2x1=x2x1=x2

با قضیه بیان شده نشان دهید تابع فوق یک به یک است:

تابع gx=x یک تابع اکیدا صعودی است، در نتیجه اگر x1x2 باشد، اطمینان داریم که gx1gx2 می‌باشد.

این خاصیت برای تمام توابع اکیدا یکنوا برقرار است، یعنی توابع اکیدا یکنوا همواره یک به یک می‌باشد.    

دریافت مثال

نکته

اگر fx تابعی اکیدا یکنوا باشد، آن‌گاه gx=fx+fx یک به یک است.

تمرین

تابع زیر را در نظر بگیرید و نشان دهید این تابع یک به یک است. 

gx=x+x

تابع fx=x اکیدا صعودی است، بنابراین تابع gx=x+x که نمودار هندسی آن در زیر رسم شده است، یک به یک است.

تابع یک به یک - پیمان گردلو 

از لحاظ هندسی هر خط به موازات محور x ها، نمودار تابع gx=x+x را فقط در یک نقطه قطع کرده است، پس تابع فوق یک به یک است.

قضیه

اگر توابع f و g یک به یک باشند و fog یا gof تعریف شده باشند، آنگاه هر دو ترکیب، یک به یک می‌باشند.

اثبات

ثابت می‌کنیم fog یک به یک است:   

fgx1=fgx2

طبق فرض تابع f یک به یک است، طبق تعریف تابع یک به یک، از تساوی فوق نتیجه زیر را داریم:

gx1=gx2

طبق فرض تابع g یک به یک است، طبق تعریف تابع یک به یک، از تساوی فوق نتیجه زیر را داریم:

x1=x2

تمرین

نشان دهید توابع زیر همگی یک به یک هستند:

hx=3x+x

در زیر توابع f و g یک به یک هستند و ترکیب این دو تابع یعنی تابع فوق، یک به یک است.

fx=3x       gx=x+xhx=fgx=3x+x

hx=log2x3

در زیر توابع f و g یک به یک هستند و ترکیب این دو تابع یعنی تابع فوق، یک به یک است.

fx=log2xgx=x3hx=fgx=log2x3

نکته

عکس قضیه فوق همواره صحیح نیست، یعنی ممکن است fog یک به یک باشد، اما g یک به یک نباشد، نمودار زیر را مشاهده کنید. 

تابع یک به یک - پیمان گردلو

fog=a,p,b,q,c,rg=4,p,1,p,2,q,3,r

 fog یک به یک است، اما g یک به یک نیست.

نکته

در توابع f:AB و g:BC اگر f یک به یک نباشد، آنگاه gof یک به یک نیست. 

 توابع زیر هیچ‌کدام یک به یک نیستند:

fx=x2nfx=xfx=xfx=sinx

اگر این توابع با هر تابع g:BC ترکیب شوند gof یک به یک نمی‌باشد حتی اگر g هم تابعی یک به یک باشد.  

 توابع gof زیر هیچ‌کدام یک به یک نیستند:

gx=axfx=xgfx=axgx=logxfx=sinxgfx=logsinx

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

تابع یک به یک (نکات)

2,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید