نامساوی‌ های اصلی

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: نامساوی
امتیاز:
بازدید: 68 مرتبه

if  a>0,  a+1a2if  a<0,  a+1a2

نکته

  if   a0a+1a2

if   a>0  ,  b>0    a<0  ,  b<0    ab+ba2if   a<0  ,  b>0    a>0  ,  b<0    ab+ba2

a2+b2aba2+b2+ab0a2+b22ab

نکته

حالت ‌تساوی برای نامساوی‌های فوق وقتی برقرار است که a=b=0 باشد.

1a+1b4a+b    ;    a,b>0a2+b2+c2ab+ac+bc

نکته

حالت ‌تساوی برای نامساوی دوم وقتی برقرار است که a=b=c باشد.

if    a+b+c0a3+b3+c33abc

نکته

ifa+b+c=0a=b=ca3+b3+c3=3abca=x3  ,  =y3  ,  c=z3x+y+z=3xyz3

if nNk(nk+1)n  ,1kn   a,b,cR:3(ab+ac+bc)a+b+c23(a2+b2+c2)

   a2=b2+c2    ;    a,b,c>0if  n>2an>bn+cnif   0<n<2an<bn+cn

if   nN    ;    a,b>0an+bnan1b+bn1aan+bnab(an2+bn2)

1+an1+na,0<n<11+an1+na,n<0n>1

نکته

نامساوی فوق به نامساوی برنولی معروف است.

در نامساوی های فوق a-1 است، تساوی وقتی برقرار است که a=0 یا n=1 باشد.

if   x+y=k>0  ,  nNxn+ynkn2n1

نکته

شرط لازم وکافی برای برقراری تساوی آن است که n=1 یا x=y=k2

  a,bR:a+b2a2+b22     a+b22a2+b22

نکته

اگر a=b باشد، تساوی برقرار است.

می‌توان این نامساوی را تعمیم داد و به استقرای ریاضی ثابت کرد:

a+b2nan+bn2a+bn2n1(an+bn)a1+a2++amnmn1(a1n+a2n+......+amn)    ;    a1a1+a2++amnmn1(a1n+a2n+......+amn)    ;    0a1

if   a1,a2,...,an>0(1+a1)(1+a2)......(1+an)2na1.a2.......an

نکته

if  a1.a2an=1(1+a1)(1+a2)(1+an)2n  a1,a2,...,an>0(1+a1)(1+a2)(1+an)1+a1+a2++an

نامساوی اخیر به نامساوی وایراشتراس معروف است.

ai ها هم‌علامت و بزرگ‌تر از -1 است.

  ai,biR    :(a12+a22+...+an2)(b12+b22+...+bn2)(a1b1+a2b2++anbn)2

نکته

(a12+a22)(b12+b22)(a1b1+a2b2)2

در نامساوی زیر:

(a2+b2)(x2+y2)(ax+by)2

اگر ax+by=k مقدار ثابتی باشد، آن‌گاه:

x2+y2k2a2+b2

در نتیجه min عبارت (x2+y2) مقدار k2a2+b2 می‌باشد.

if  ax+by=kmin(x2+y2)=k2a2+b2

     a1,a2,...,anR+if   a1.a2an=1a1+a2++ann

نکته

اگر  a1,a2,...,an اعداد حقیقی و هم‌‌علامت باشند، آن‌گاه: 

a1a2+a2a3+......+ana1n

اگر c,b,a اضلاع مثلث باشند، آن‌گاه: 

ab+bc+ca3

if   a>b>0  x>0ax>bx

if   x>y>0  ,  ax>ay ;  a>1ax<ay  ; 0<a<1

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

نامساوی‌های اصلی

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید