خواص نامساوی‌ ها

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: نامساوی
امتیاز:
بازدید: 58 مرتبه

1- خاصیت مخالف بودن دو عدد

if   a<bab

2- خاصیت تعدی

if     a<b  ,   b<ca<c

3- خاصیت بازتابی

aa

4- خاصیت پادتقارن

if      ab  ,  baa=b

5- می‌توان به طرفین نامساوی، عددی را اضافه یا حذف كرد:

a<ba±c<b±caba±cb±c

6- نامساوی‌های هم‌جهت را می‌توان عضو به عضو با هم جمع كرد:

a<b,c<da+c<b+da<b,cda+c<b+dab,cda+cb+d

اما نامساوی‌های هم‌جهت را نمی‌توان عضو به عضو از هم تفریق كرد.

7- اگر a و b هر دو مثبت یا هر دو منفی باشند، a×b همواره مثبت است و اگر یكی منفی و دیگری مثبت باشد، a×b همواره منفی است.

(a>0,b>0)    (a<0,b<0)a×b>0(a<0,b>0)    (a>0,b<0)a×b<0

8- به‌ازای هر عدد حقیقی x نامساوی x20 یا به طور كلی x2n0 همواره برقرار است. 

9- هر عدد حقیقی با معکوس خود، هم‌علامت هست:

if   a>01a>0if   a<01a<0

 10- هرگاه دوطرف یک نامساوی مثبت باشند، می‌توان دو طرف را معکوس کرده، جهت نامساوی را عوض می‌کنیم، برای حالت منفی هم، همین ‌گونه عمل می‌کنیم:   

0<a<b1a>1b>0b<a<00>1b>1a

اما اگر یک طرف نامساوی مثبت و طرف دیگر منفی باشد، می‌توان دو طرف نامساوی را معکوس کرد، اما جهت نامساوی تغییر نمی‌کند.

11- حاصل‌ضرب یک عدد در طرفین یک نامساوی و حاصل تقسیم یک عدد بر طرفین یک نامساوی

if   c>0   ;    a<bac<bca<bac<bcif   c<0   ;    a<bac>bca<bac>bc

12- در ضرب نامساوی‌های زیر داریم:

ifa<b  ,  b>0if0<c<dac<bdif    (bd>0)  ,  ab<cdad<bc

b و d هم ‌علامت هستند.

تمرین

صحت نامساوی‌های زیر را بررسی می‌کنیم:

15<15

15<155<5


نامساوی فوق صحیح است.

1x3<15

نمی‌توانیم طرفین وسطین کنیم چون نمی‌دانیم سمت چپ نامساوی عددی مثبت است یا منفی، بایستی تعیین علامت شود:

1x3<151x315<05x35x3<08x5x3<0


نامساوی ها - پیمان گردلو

D=,38,+

 13- در به توان رساندن طرفین نامساوی، حالات زیر را در نظر می‌گیریم:

الف) طرفین هر نامساوی را می‌توان به توان فرد رساند، بدون آن‌ كه جهت نامساوی عوض شود:

a<bam<bm     ;    m=2k+1

ب) اگر دوطرف نامساوی مثبت باشند، می‌توان طرفین را به توان زوج رساند: 

0<a<bam<bm    ;    m=2k

پ) اگر دوطرف نامساوی منفی باشند و طرفین آن‌ را به توان زوج برسانیم، جهت نامساوی تغییر می‌كند:

b<a<0am<bm    ;    m=2k

ت) اگر طرفین نامساوی مختلف ‌العلامه باشند و آن را به توان زوج برسانیم، ممكن است جهت نامساوی حفظ شود یا تغییر كند.

14- از طرفین یک نامساوی می‌توان ریشه فرد گرفت، اگر دو طرف نامساوی مثبت باشند از طرفین ریشه زوج هم می‌توان گرفت:

a<bam<bm    ;    m=2k+10<a<bam<bm    ;    m=2kam<bma<b     ;    m=2k+1am<bma<b    ;    m=2k

15- اگر m و n اعداد طبیعی و m<n  باشد، نامساوی‌های زیر برقرار است:

A>1  ,m<n         Am<AnA>1  ,m<n         Am>An0<A<1  ,m<nAm>An0<A<1  ,m<nAm<An

16- اگر a<b و b<c باشد، می‌توان از نامساوی a<b<c استفاده کرد.

17- اگر a,b,...,t اعداد حقیقی و ga,b,..,t  ,  ha,b,...,t  ,  fa,b,...,t کثیرالجمله‌ها یا توابعی تعریف شده در مجموعه اعداد حقیقی باشند، آن‌گاه در دامنه تعریف آنها ویژگی‌ها‌ی زیر صدق می‌کند:

f(a,b,...,t)>g(a,b,...,t)f(a,b,...,t)±h(a,b,...,t)>g(a,b,...,t)±h(a,b,...,t)fa,b,...,tga,b,...,t>0:f(a,b,...,t)>g(a,b,...,t)=0:f(a,b,...,t)=g(a,b,...,t)<0:f(a,b,...,t)<g(a,b,...,t)

18- اگر ha,b,...,t,x,y,z کثیرالجمله‌ای بر حسب اعداد حقیقی a,b,...,t,x,y,z باشد که آن را برای ساده‌‌نویسی با h نشان می‌دهیم و داشته باشیم f(a,b,...,t)>g(a,b,...,t)، آنگاه: 

if  h>0    ;    h.f(a,b,...,t)>h.g(a,b,...,t)f(a,b,...,t)h>g(a,b,...,t)hif  h<0    ;    h.f(a,b,...,t)<h.g(a,b,...,t)f(a,b,...,t)h<g(a,b,...,t)h

این نامساوی‌ها برای حالات 0 یا 0 صادق است.

19- اگر ga,b,..,t  ,  fa,b,...,t به‌ازای همه مقادیر a,b,...,t در دامنه‌هایشان تعریف شده و n فرد باشد، داریم:

fa,b,...,tga,b,...,tfa,b,...tnga,b,...,tn

اگر n زوج باشد، تنها وقتی می‌توان طرفین را به توان زوج برسانیم که دو طرف نامساوی، نامنفی باشند، یعنی:

f(a,b,...,t)0g(a,b,...,t)0f(a,b,...,t)g(a,b,...,t)f(a,b,...,t)ng(a,b,...,t)n

20-  اگر ga,b,..,t  ,  fa,b,...,t به‌ازای همه مقادیر a,b,...,t در دامنه‌هایشان تعریف شده، داریم:  

f(a,b,...,t)g(a,b,...,t)>0f(a,b,...,t).g(a,b,...,t)>0f(a,b,...,t)g(a,b,...,t)<0f(a,b,...,t).g(a,b,...,t)<0

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

خواص نامساوی‌ها

21,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید