برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری
لیست

سرفصل‌های این مبحث

نامساوی

خواص نامساوی‌ ها

آخرین ویرایش: 01 اسفند 1400
دسته‌بندی: نامساوی
امتیاز:

1- خاصیت مخالف بودن دو عدد

if   a<bab

2- خاصیت تعدی

if     a<b  ,   b<ca<c

خواص نامساوی ها - پیمان گردلو

3- خاصیت بازتابی

aa

4- خاصیت پادتقارن

if      ab  ,  baa=b

5- می‌توان به طرفین نامساوی، عددی را اضافه یا حذف كرد:

a<ba±c<b±caba±cb±c

خواص نامساوی ها - پیمان گردلو

6- نامساوی‌های هم‌جهت را می‌توان عضو به عضو با هم جمع كرد:

a<b,c<da+c<b+da<b,cda+c<b+dab,cda+cb+d

اما نامساوی‌های هم‌جهت را نمی‌توان عضو به عضو از هم تفریق كرد.

7- اگر a و b هر دو مثبت یا هر دو منفی باشند، a×b همواره مثبت است و اگر یكی منفی و دیگری مثبت باشد، a×b همواره منفی است.

(a>0,b>0)    (a<0,b<0)a×b>0(a<0,b>0)    (a>0,b<0)a×b<0

8- به‌ازای هر عدد حقیقی x نامساوی x20 یا به طور كلی x2n0 همواره برقرار است. 

9- هر عدد حقیقی با معکوس خود، هم‌علامت هست:

if   a>01a>0if   a<01a<0

 10- هرگاه دوطرف یک نامساوی مثبت باشند، می‌توان دو طرف را معکوس کرده، جهت نامساوی را عوض می‌کنیم، برای حالت منفی هم، همین ‌گونه عمل می‌کنیم:   

0<a<b1a>1b>0b<a<00>1b>1a

اما اگر یک طرف نامساوی مثبت و طرف دیگر منفی باشد، می‌توان دو طرف نامساوی را معکوس کرد، اما جهت نامساوی تغییر نمی‌کند.

خواص نامساوی ها - پیمان گردلو

11- حاصل‌ضرب یک عدد در طرفین یک نامساوی و حاصل تقسیم یک عدد بر طرفین یک نامساوی

if   c>0   ;    a<bac<bca<bac<bcif   c<0   ;    a<bac>bca<bac>bc

خواص نامساوی ها - پیمان گردلو

خواص نامساوی ها - پیمان گردلو

12- در ضرب نامساوی‌های زیر داریم:

ifa<b  ,  b>0if0<c<dac<bdif    (bd>0)  ,  ab<cdad<bc

b و d هم ‌علامت هستند.

تمرین

صحت نامساوی‌های زیر را بررسی می‌کنیم:

15<15

15<155<5


نامساوی فوق صحیح است.

1x3<15

نمی‌توانیم طرفین وسطین کنیم چون نمی‌دانیم سمت چپ نامساوی عددی مثبت است یا منفی، بایستی تعیین علامت شود:

1x3<151x315<05x35x3<08x5x3<0


نامساوی ها - پیمان گردلو

D=,38,+

 13- در به توان رساندن طرفین نامساوی، حالات زیر را در نظر می‌گیریم:

الف) طرفین هر نامساوی را می‌توان به توان فرد رساند، بدون آن‌ كه جهت نامساوی عوض شود:

a<bam<bm     ;    m=2k+1

ب) اگر دوطرف نامساوی مثبت باشند، می‌توان طرفین را به توان زوج رساند: 

0<a<bam<bm    ;    m=2k

پ) اگر دوطرف نامساوی منفی باشند و طرفین آن‌ را به توان زوج برسانیم، جهت نامساوی تغییر می‌كند:

b<a<0am<bm    ;    m=2k

ت) اگر طرفین نامساوی مختلف ‌العلامه باشند و آن را به توان زوج برسانیم، ممكن است جهت نامساوی حفظ شود یا تغییر كند.

14- از طرفین یک نامساوی می‌توان ریشه فرد گرفت، اگر دو طرف نامساوی مثبت باشند از طرفین ریشه زوج هم می‌توان گرفت:

a<bam<bm    ;    m=2k+10<a<bam<bm    ;    m=2kam<bma<b     ;    m=2k+1am<bma<b    ;    m=2k

15- اگر m و n اعداد طبیعی و m<n  باشد، نامساوی‌های زیر برقرار است:

A>1  ,m<n         Am<AnA>1  ,m<n         Am>An0<A<1  ,m<nAm>An0<A<1  ,m<nAm<An

16- اگر a<b و b<c باشد، می‌توان از نامساوی a<b<c استفاده کرد.

17- اگر a,b,...,t اعداد حقیقی و ga,b,..,t  ,  ha,b,...,t  ,  fa,b,...,t کثیرالجمله‌ها یا توابعی تعریف شده در مجموعه اعداد حقیقی باشند، آن‌گاه در دامنه تعریف آنها ویژگی‌ها‌ی زیر صدق می‌کند:

f(a,b,...,t)>g(a,b,...,t)f(a,b,...,t)±h(a,b,...,t)>g(a,b,...,t)±h(a,b,...,t)fa,b,...,tga,b,...,t>0:f(a,b,...,t)>g(a,b,...,t)=0:f(a,b,...,t)=g(a,b,...,t)<0:f(a,b,...,t)<g(a,b,...,t)

18- اگر ha,b,...,t,x,y,z کثیرالجمله‌ای بر حسب اعداد حقیقی a,b,...,t,x,y,z باشد که آن را برای ساده‌‌نویسی با h نشان می‌دهیم و داشته باشیم f(a,b,...,t)>g(a,b,...,t)، آنگاه: 

if  h>0    ;    h.f(a,b,...,t)>h.g(a,b,...,t)f(a,b,...,t)h>g(a,b,...,t)hif  h<0    ;    h.f(a,b,...,t)<h.g(a,b,...,t)f(a,b,...,t)h<g(a,b,...,t)h

این نامساوی‌ها برای حالات 0 یا 0 صادق است.

19- اگر ga,b,..,t  ,  fa,b,...,t به‌ازای همه مقادیر a,b,...,t در دامنه‌هایشان تعریف شده و n فرد باشد، داریم:

fa,b,...,tga,b,...,tfa,b,...tnga,b,...,tn

اگر n زوج باشد، تنها وقتی می‌توان طرفین را به توان زوج برسانیم که دو طرف نامساوی، نامنفی باشند، یعنی:

f(a,b,...,t)0g(a,b,...,t)0f(a,b,...,t)g(a,b,...,t)f(a,b,...,t)ng(a,b,...,t)n

20-  اگر ga,b,..,t  ,  fa,b,...,t به‌ازای همه مقادیر a,b,...,t در دامنه‌هایشان تعریف شده، داریم:  

f(a,b,...,t)g(a,b,...,t)>0f(a,b,...,t).g(a,b,...,t)>0f(a,b,...,t)g(a,b,...,t)<0f(a,b,...,t).g(a,b,...,t)<0

تمرین

نامساوی های زير را ثابت كنيد.

a2+b2a+b

a2+b2a+ba2+b22a+b2a2+b2a2+2ab+b22ab0


نامساوی 2ab0 همواره برقرار است پس نامساوی مورد نظر همواره برقرار است.

ab<a+kb+k    ;    (a,b,k>0,a<b)

a<b    ;    k>0ak<bkak+ab<bk+aba(k+b)<b(k+a)ab<a+kb+k

a3+b32a+b23    ;    (a,b>0)

ab20(a22ab+b2)0a2ab+b2ab    ;    a+b>0(a+b)(a2ab+b2)(a+b)aba3+b3ab(a+b)3(a3+b3)3ab(a+b)3a3+3b33a2b+3ab23a3+3b3+a3+b33a2b+3ab2+a3+b34a3+4b3a+b34a3+4b38a+b384(a3+b3)8a+b323a3+b32a+b23

a+b1+ab<1    ;    0<b<1  ,  0<a<1

a,b>01+ab>0a+b1+ab<1(1+ab)a+b1+ab<(1+ab)×1a+b<1+aba+b(1+ab)<0a+b1ab<0(aab)(1b)<0a(1b)(1b)<0(1b)(a1)<0


0<b<11b>00<a<1a1<01ba1<0


نامساوی 1ba1<0 همواره برقرار است پس نامساوی مورد نظر همواره برقرار است. 

a+b>a+b    ;    (a,b>0)

(a+b)>a+ba+b2>a+b2(a+2ab+b)>a+b2ab>02ab>0


نامساوی 2ab>0 همواره برقرار است پس نامساوی مورد نظر همواره برقرار است. 

a+a+2<2a+1

a+a+2<a+1+a+1a+2a+1<a+1a(a+2a+1)a+2+a+1a+2+a+1<(a+1a).a+1+aa+1+a(a+2)(a+1)a+2+a+1<(a+1)(a)a+1+a1a+2+a+1<1a+1+aa+2+a+1>a+1+aa+2>a


نامساوی a+2>a همواره برقرار است پس نامساوی مورد نظر همواره برقرار است. 

تمرین

المپیاد ریاضی

دستگاه زیر را برای اعداد صحیح مثبت حل کنید. 

a4+14ab+1=n4b4+14bc+1=m4c4+14ac+1=k4

n4>a4n>ana+1n4a+14


m4>b4m>bmb+1m4b+14


k4>c4k>akc+1k4c+14


a4+14ab+1=n4a+14b4+14bc+1=m4b+14c4+14ac+1=k4c+14


a4+14ab+1=n4a+14


a4+14ab+1a+14


a4+14ab+1a4+4a3+6a2+4a+1


14ab4a3+6a2+4a


14ab2a2a2+3a+2


7b2a2+3a+2


به‌همین ترتیب داریم:

7b2a2+3a+27c2b2+3b+27a2c2+3c+2


طرفین نامساوی های فوق را باهم جمع می‌کنیم: 

7a+7b+7c2a2+2b2+2c2+3a+3b+3c+6


2a2+2b2+2c24a4b4c+60


a2+b2+c22a2b2c+30


a22a+1+b22b+1+c22c+10


a12+b12+c120


نامساوی فقط درصورتی برقرار است که داشته باشیم:

a=b=c=1


a4+14ab+1=n41+14+1=n4n=2


به‌همین ترتیب:

n=m=k=2

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

خواص نامساوی‌ها

21,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید

برای مشاهده تمام دروس، لطفا در سایت ثبت نام نمایید.

پس از ثبت نام در سایت، تا 24 ساعت بعد می‌توانید به صورت رایگان به تمام محتوای وب سایت دسترسی داشته باشید.

اگر در گذشته ثبت نام کرده‌اید:

ورود به حساب کاربری