قضایای نامساوی‌ ها

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: نامساوی
امتیاز:
بازدید: 87 مرتبه

مقدمه: اگر a1,a2,,an مثبت باشند:

واسط حسابی را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

An=a1+a2++ann=1ni=1nai

واسط هندسی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

Gn=a1.a2ann=i=1nain

واسط توافقی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

Hn=n1a1+1a2++1an=ni=1n1ai

واسط مربعی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

Sn=a12+a22++an2n=1ni=1nai2

واسط توانی را به‌صورت زیر نشان می‌دهیم:

Cα=a1α+a2α++anαn1α

مشخص است که:

C2=Sn  ,  C1=An  ,  C1=Hn

قضیه واسطه حسابی و هندسی (نامساوی کوشی)

قضیه

واسطه حسابی اعداد مثبت، کوچکتر از واسطه هندسی آنها نیست، یعنی به‌شرطی که اعداد a1,a2,,an مثبت باشند، داریم:

a1+a2++anna1a2ann

تساوی برای حالت a1=a2==an برقرار است.

اثبات

روش اول

برای اثبات نامساوی در حالت کلی به چند نامساوی کمکی نیاز داریم:

اگر x1  ,  x2 اعدادی غیرمنفی باشند، در صورتی که x1<x2 باشد، بنابراین x1n<x2n    ;    (xN) خواهد بود و داریم:

(x1n1x2n1)(x1x2)0x1nx1n1x2x1x2n1+x2n0x1n+x2nx1x2n1+x2x1n1

n عددی غیر منفی است و نامساوی‌های مربوط را برای دوبه‌دوی آنها می‌نویسیم و با هم جمع می‌کنیم:

(x1n+x2n)+(x1n+x3n)++(x1n+xnn)+(x2n+x3n)++(x2n+xnn)  ++(xn1n+xnn)        (x1x2n1+x2x1n1)+(x1x3n1+x3x1n1)++(x1xnn1+xnx1n1)            +(x2x3n1+x3x2n1)++(x2xnn1+xnx2  n1)++(xn1xn  n1+xnxn1  n1)(n1)(x1n+x2n++xnn)x1(x2n1+x3n1++xnn1)+x2(x1n1++xnn1)+                                                                   +xn(x1  n1+x2  n1++xn1  n1)        (1)

فرض کنیم برای n-1 عدد مثبت واسطه حسابی، کوچک‌تر از واسطه هندسی نباشد، بنابراین:

x2  n1+x3  n1+......+xn  n1(n1)x2x3xnx1   n1+x3   n1++xn   n1(n1)x1x3xn                                                                                    x1  n1+x2  n1++xn1   n1(n1)x1x2xn1

با استفاده از این نامساوی‌ها می‌توان نامساوی 1 را به‌صورت زیر نوشت:

(n1)(x1  n+x2  n++xn   n)n(n1)x1x2xn

اگر در نامساوی اخیر xn   n=an  ,  x2  n=a2  ,    ,  x1  n=a1 بگیریم، به‌دست می‌آید:

n1a1+a2+...+annn1a11n.a21n...an1na1+a2++anna1.a2ann

اثبات

روش دوم

برای سادگی محاسبات، فرض می‌کنیم An=AGn=G

تابع نمایی y=exG را در نظر می‌گیریم، این تابع همواره به سمت بالا محدب است زیرا y'=1GexG و y''=1G2exG لذا مماس بر نمودار تابع در هر نقطه، زیر نمودار قرار دارد. 


نامساوی کوشی - پیمان گردلو

معادله خط مماس بر این تابع در نقطه G,e روی y=eGx است، بنابراین exGeGx اکنون برای اثبات نامساوی، باید x=ai به ازاء (i=1,,n) را در نامساوی exGeGx قرار داده، آنها را در هم ضرب می‌کنیم:

ea1+a2++anGea1Gea2GeanGea1+a2++anGena1anGnea1+a2++anGenenAGen  ,  e>1nAGn                                        AG                                       AnGn

تساوی وقتی برقرار است که a1==an

اثبات

روش سوم

G=a1a2......ann1=1Gna1a2......ann1=a1Ga2GanGn1=a1Ga2GanGa1G+a2G++anGna1+a2++anGna1+a2++annGAG

نکته

به اثبات این نتیجه توجه کنید:

a1n+a2n+......+annna1a2...an

a1.a2an=a1n.a2nannna1n+a2n++annna1.a2ana1n+a2n++annna1n+a2n++annna1a2an

نامساوی های زیر از مطالب فوق، به‌دست می‌آید:

a3+b3+c33abca4+b4+c4+d44abcd

تمرین

با استفاده از قضیه واسطه حسابی و هندسی، ماکزیمم و مینیمم عبارت زیر را به دست می‌آوریم:

A=x2x4+8

A0minA=0A=x2x4+81A=x4+8x2  ;  x01A=x4x2  +  8x21A=x2  +  8x2     ;        x2+8x22x2×8x21A281A42A142A28maxA=28

دریافت مثال

قضیه واسطه توافقی و هندسی

قضیه

واسطه توافقی چند عدد مثبت از واسطه هندسی آنها بزرگ‌تر نیست:

n1a1+1a2++1ana1a2ann

اثبات

بنابر قضیه واسطه ‌های حسابی و هندسی، نامساوی زیر واضح است:

1a1+1a2++1ann1a11a21ann

اگر دو طرف این نامساوی را معکوس کنیم، به نامساوی قضیه می‌رسیم:

n1a1+1a2++1ana1.a2ann

حالت تساوی مربوط به a1=a2==an است.

قضیه واسطه مربعی و حسابی

قضیه

واسطه مربعی چند عدد، کوچک‌تر از قدرمطلق واسطه حسابی آنها نیست:

a1+a2++anna12+a22++an2n

حالت تساوی مربوط به a1=a2==an است.

اثبات

اتحاد زیر را در نظر می‌گیریم:

(a1+a2++an)2=a12+a22++an2+2a1a2+2a1a3++2an1an

با استفاده از نامساوی 2a1a2a12+a22  هریک از جمله ‌های مربوط به دو برابر حاصل ‌ضرب ‌ها را (عبارت سمت راست) به مجموع مربعات عوامل آن تبدیل می‌کنیم، به‌دست می‌آید:

(a1+a2++an)2a12+a22++an2+(a12+a22)+(a12+a32)++(an12+an2)(a1+a2++an)2n(a12+a22++an2)

اگر دو طرف این نامساوی را بر n2 تقسیم کنیم:

(a1+a2++an)2n2nn2(a12+a22++an2)(a1+a2+......+an)2n21n(a12+a22++an2)

و سپس از دو طرف، ریشه دوم می‌گیریم تا نامساوی مطلوب به‌دست ‌آید:

(a1+a2+......+an)2n21n(a12+a22++an2)a1+a2+......+anna12+a22+......+an2n

دریافت مثال

قضیه واسطه توافقی و حسابی

قضیه

واسطه توافقی چند عدد، بزرگ‌تر از واسطه حسابی آنها نیست:

n1a1+1a2+......+1ana1+a2+......+ann

اثبات

HnGnGnAnHnAnn1a1++1ana1+a2++ann

نتیجه:

اگر تمام a1,a2,,an ها هم علامت باشند، آن‌گاه:

(a1+a2+......+an)(1a1+1a2+......+1an)n2

حالت تساوی مربوط به a1=a2==an است.

اثبات نامساوی فوق به‌صورت زیر است:

HnAnn1a1+1a2++1ana1+a2++ann(a1+a2++an)1a1+1a2+......+1ann2

قضیه واسطه حسابی و هندسی و توافقی و مربعی

قضیه

بین چند واسطه حسابی و هندسی و توافقی و مربعی رابطه زیر برقرار است:

a1HnGnAnSnan

a1 کم‌ترین و an بیش‌ترین این متغیرها است. تساوی وقتی برقرار است که a1=a2==an

اثبات

روش اول

برای n=2 نامساوی های فوق را ثابت می‌کنیم:

a+b2aba+b2aba2ab+b0(ab)200

رابطه اخیر همواره برقرار است.

21a+1bab2aba+bab2abab(a+b)2aba+ba2ab+b0(ab)20


a+b2a2+b22a2+b2+2ab4a2+b22a2+b2+2ab2a2+2b2a22ab+b20(ab)20

a21a+1baba+b2a2+b22b

اثبات

روش دوم

برای n=2 نامساوی های فوق را ثابت می‌کنیم:


نامساوی ها - پیمان گردلو

فرض کنیم a1,a2 دو عدد حقیقی مثبت و MQ=b,MP=a,a>b>0 و دایره به قطر PQ¯ را رسم می‌کنیم، مرکز این دایره را A و شعاع آن را ab2 است، همچنین MA=a+b2.

از M مماس MG¯ را بر دایره رسم می‌کنیم. بنابر قضیه روابط متری در دایره داریم: 

MQ=abMG2=MPMG=ab

از G عمود GH برابر AM را رسم می‌کنیم، چون در مثلث قائم‌الزاویه ΔMGH تساوی MG2=MAMH برقرار است، لذا:   

ab=a+b2MHMH=2aba+b

سرانجام از A مرکز دایره، خط AR را عمود بر خط AM¯ رسم می‌کنیم، طبق قضیه فیثاغورث در مثلث قائم‌ الزوایه ΔMAR داریم:

MR2=a+b22+ab22MR=a2+b22

اکنون در دو مثلث قائم‌‌الزوایه از آنجا که هرضلع زاویه قائمه از اندازه وتر کوچک‌تر است داریم:

MH<MG<MA<MR2aba+b<ab<a+b2<a2+b22

این واسطه‌ها قابل تعمیم است و می‌توان آنها را برای n متغیر مثبت تعریف کرد.

اثبات

روش سوم

مطابق شکل زیر نیم ‌دایره‌ای به قطر a+b رسم می‌کنیم که در آن HB=b و AH=a باشد. از نقطه H عمودی اخراج می‌کنیم تا دایره را در نقطه P قطع کند. 


نامساوی ها - پیمان گردلو

در مثلث قائم‌‌الزاویه APB شعاع PH که بر وتر AB وارد شده است، واسطه هندسی بین دو قطعه از وتر AH=a و AB=b است پس:

PH2=AHHBPH2=abPH=ab           1

به اندازه b بر روی AB از نقطه A جدا می‌کنیم و انتهای آن‌ را L می‌نامیم پس LH=ab  ,  AL=b.

اگر مرکز دایره را O بنامیم که وسط پاره‌ خط LH است آنگاه PO میانه وارد بر وتر در مثلث APB نصف است، یعنی:

LO=OH=ab2  ,  PO=a+b2         (2)

و در مثلث قائم‌‌الزاویه POH ارتفاع وارد بر وتر PO را از نقطه H رسم می‌کنیم و پای ارتفاع را نقطه K می‌نامیم. در این مثلث، حاصل‌ ضرب دو ضلع مجاور قائمه برابر است با حاصل‌ ضرب ارتفاع وارد بر وتر در طول وتر (و برابر است با دو برابر مساحت همین مثلث) پس داریم: 

OH.PH=HK.POab2ab=HKa+b2HK=(ab)aba+b

در مثلث قائم‌‌الزاویه PHK طول PK را حساب می‌کنیم:

PK2=PH2HK2PK2=ab2(ab)ab(a+b)2PK2=4a2b2(a+b)2PK=2aba+b=21a+1b  (3)

از نقطه O عمودی بر قطر AB اخراج می‌کنیم تا دایره را در نقطه Q قطع کند. در مثلث قائم‌‌الزوایه QLO طول وتر QL را حساب می‌‌کنیم:

OQ=R=a+b2  ,   LO=ab2QL2=QO2+LO2=(a+b2)2+(ab2)2QL2=a2+b22QL=a2+b22   (4)

از مقایسه تساوی‌های 4,3,2,1 با توجه به شکل دیده می‌شود:

PK<PH<PO=OQ=R<QLPK<PH<PO<QL21a+1b<ab<a+b2<a2+b22

اگر a=b همه نامساوی‌ها به تساوی تبدیل می‌شوند.

قضیه

اگر a1a2an آنگاه a1Anan

اثبات

میانگین عددی چند عدد نامنفی، بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین آن عدد قرار دارد. به عبارت دیگر بیش‌ترین مقدار An برابر an و کوچک‌ترین مقدار آن a1 است، اگر بیش‌ترین مقدار ai را با maxai و کوچک‌ترین مقدار minai نشان دهیم :min(ai)Anmax(ai)

a1++a1na1++annan++anna1Anan

a1 و an به تعداد n مرتبه، تکرار شده اند.

قضیه

اگر a1a2an آنگاه a1Gnan

اثبات

a1a1a1na1a2annanananna1Gnanmin(ai)Gnmax(ai) ; i=1,2,,n

قضیه

اگر همه کسرهای a1b1,a2b2,,anbn مثبت باشند، آن‌گاه:

minaba1+a2++anb1+b2++bnmaxab

minab ,  maxab به ترتیب بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین کسر aibi می‌باشد.

اثبات

فرض کنیم m=minab ,  M=maxab

mb1a1Mb1mb2a2Mb2               mbnanMbn

طرفین نامساوی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

m(b1++bn)a1++anM(b1++bn)ma1++anb1++bnMif m=minab  ,   M=maxabminaba1++anb1++bnmaxab

در حالت خاص اگر i=1,2,,n    ;    ki>0 آن‌گاه:

min(ai)k1a1++knank1++knmax(ai)

مثال‌ها و جواب‌ها

قضایای نامساوی‌ها

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید