قضایای محاسبه ماکزیمم و مینیمم

تاریخ انتشار: 09 آذر 1399
آخرین ویرایش: 28 شهریور 1400
دسته‌بندی: نامساوی
امتیاز:
بازدید: 75 مرتبه

به طور کلی برای محاسبه max و min عبارات از مشتق استفاده می‌شود، اما در این‌جا می‌کوشیم که max و min بعضی عبارات را بدون استفاده از مشتق و با استفاده از خواص نامساوی‌ها به‌دست آوریم.

قضیه

ماکزیمم حاصل ضرب n عدد مثبت وقتی مجموع آنها مقداری ثابت است.

هرگاه مجموع n عدد مثبت x1,x2,,xn مقداری ثابت باشد، یعنی داشته باشیم S=x1+x2++xn آن‌گاه حاصل‌ ضرب آنها یعنی x1x2     xn وقتی max است که داشته باشیم: 

x1=x2==xn=Sn

اثبات

بنابر نامساوی کوشی داریم:

x1.x2xnnx1+x2++xnn=Snx1x2xnSnn

سمت راست نامساوی همواره مقدار ثابتی است و x1x2     xn بیش‌ترین مقدار را وقتی اختیار می‌کند که نامساوی به تساوی تبدیل شود و آن‌ وقتی است که:

x1=x2==xn=Sn

تذکر

هرگاه S=a1x1+a2x2++anxn و a,ixi>0 آن‌گاه عبارت x1x2     xn وقتی max است که داشته باشیم:  

a1x1=a2x2==anxn=Sn

هرگاه S=x1+x2++xn آن‌گاه x1m1x2m2xnmn وقتی max است که داشته باشیم: 

x1m1=x2m2==xnmn=x1+x2++xnm1+m2+...+mn

تمرین

مجموع دو عدد 36 می‌باشد، آن دو عدد چند باشد تا حاصل ‌ضربشان max شود.

x+y=36 : فرض

max(xy)=? : حکم

x=y=362=18 : شرط


max(x.y)=(18).(18)=324

دریافت مثال

قضیه

مینیمم مجموع n عدد مثبت وقتی حاصل‌ضرب آنها مقداری ثابت است.

هرگاه حاصل‌ضرب n عدد مثبت x1,x2,,xn مقداری ثابت باشد، یعنی داشته باشیمp=x1x2     xn  آنگاه مجموع آنها یعنی x1+x2++xn وقتی min است که داشته باشیم:

x1=x2==xn=pn

اثبات

بنابر نامساوی کوشی داریم:

x1+x2++xnnx1x2xnnx1+x2++xnnpnx1+x2++xnnpn

سمت راست نامساوی همواره مقدار ثابتی است و x1+x2++xn کم‌ترین مقدار را وقتی اختیار می‌کند که نامساوی به تساوی تبدیل شود و آن‌ وقتی است که:

x1=x2==xn=pn

تمرین

اگر x در ربع اول و سوم باشد، min عبارت زیر را پيدا كنيد.

S=4tanx+9cotx

اگر x در ربع اول باشد، داریم:  0<x<π2


اگر x در ربع سوم باشد، داریم:  π<x<3π2


بنابراين تانژانت و كتانژانت كمان x در هر دو ربع مثبت است.

if   0<x<π2π<x<3π2tanx>0cotgx>0


(4tanx)(9cotx)=36 : فرض

minS=? : حکم

9cotx=4tanx=369cotx=64tanx=6

S=9cotx+4tanxmin(S)=(6)+(6)=12

دریافت مثال

قضیه

محاسبه مینیمم x1+x2++xn وقتی p=x1m1x2m2xnmn مقداری ثابت است.

هرگاه p=x1m1x2m2xnmn مقداری ثابت باشد، آن‌گاه S=x1+x2++xn وقتی min است که داشته باشیم:   

x1m1=x2m2==xnmn=x1+x2++xnm1+m2+...+mn

اثبات

ابتدا فرض می‌کنیم که mn,,m1 اعداد طبیعی باشد:

x1m1m1x2m2m2xnmnmnm1++mn=x1m1x1m1xnmnxnmnm1++mn

x1m1x1m1xnmnxnmnm1++mnx1m1++x1m1++xnmn++xnmnm1++mnx1m1x1m1xnmnxnmnm1++mnm1x1m1++mnxnmnm1++mn

x1m1x1m1xnmnxnmnm1++mnx1++xnm1++mnx1m1x1m1xnmnxnmnm1++mnSm1++mn

x1m1m1x2m2m2xnmnmnm1++mnSm1++mn

x1m1xnmnm1m1mnmn 1m1++mnSm1++mnSm1++mnx1m1xnmnm1m1mnmn 1m1++mn

چون x1m1xnmn=p پس سمت راست تساوی همواره مقداری ثابت است، کم‌ترین مقدار را وقتی اختیار می‌کند که نامساوی زیر به تساوی تبدیل شود و آن وقتی است که:

x1m1=x2m2==xnmn=x1+x2++xnm1+m2+...+mn

این قضیه به‌ازای مقادیر گویا و مثبت m1,,mn هم صادق است.  

تمرین

اگر z,y,x مثبت باشد و xy2z4=8  آن‌گاه min عبارت زیر را پیدا کنید. 

S=x+y+z

xy2z4=8 : فرض

minS=? : حکم

x1=y2=z4=x+y+z1+2+4 : شرط


x1=y2=z4=x+y+z1+2+4=S7x=S7   ,   y=2S7   ,    z=4S7


xy2z4=8S72S724S74=8210S777=2327S7(7)7=127.S7=772S7=772S=7S=72min(x+y+z)=72

دریافت مثال

قضیه

هرگاه مجموع n عدد مثبت x1,x2,,xn مقداری ثابت باشد، یعنی داشته باشیم: 

S=x1+x2++xn

آن‌گاه با شرط λ>1 یا λ<0 عبارت زیر:  

x1λ+x2λ++xnλ

وقتی min است که:   

x1=x2==xn=Sn

با شرط 0<λ<1 عبارت x1λ+x2λ++xnλ وقتی max است که:   

x1=x2==xn=Sn

اثبات

if  λ>1  ,  λ<0  ;        x1λ++xnλn(x1++xnn)λ

در نامساوی فوق همان‌طور که می‌توان دریافت، علامت تساوی فقط در حالت x1=x2==xn رخ می‌دهد:

x1λ+x2λ++xnλnSnλ

سمت راست نامساوی همواره مقدار ثابتی است و x1λ+x2λ++xnλ کم‌ترین مقدار را وقتی اختیار می‌کند که نامساوی به تساوی تبدیل شود و آن وقتی است که:

x1=x2==xn=Sn

if   0<λ<1    ;    x1λ++xnλnx1++xnnλ

در نامساوی فوق همان‌طور که می‌توان دریافت، علامت تساوی فقط در حالت x1=x2==xn رخ می‌دهد:

x1λ+x2λ++xnλnSnλ

سمت راست نامساوی همواره مقدار ثابتی است و x1λ+x2λ++xnλ بیش‌ترین مقدار را وقتی اختیار می‌کند که نامساوی به تساوی تبدیل شود و آن وقتی است که:

x1=x2==xn=Sn

قضیه

هرگاه مجموع n عدد مثبت x1,x2,,xn مقداری ثابت باشد، یعنی داشته باشیم: 

S=x1+x2++xn

آن‌گاه x12+x22++xn2 وقتی min است که داشته باشیم: 

x1=x2==xn=Sn

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

(x12+x22++xn2)(b12+b22++bn2)(x1b1++xnbn)2

if  b1=b2==bn=1(x12+x22++xn2)(1++1)(x1+x2++xn)2(x12+x22++xn2)(n)S2x12+x22++xn2S2n

سمت راست نامساوی همواره مقدار ثابتی است و x12+x22++xn2 وقتی کم‌ترین مقدار را اختیار می‌کند که نامساوی به تساوی تبدیل شود و آن وقتی است که:

x1=x2==xn=Sn

تذکر

اگر مجموع دومتغیر مثبت مقداری ثابت باشد یعنی داشته باشیم:

x+y=cte

در صورتی‌ مجموع مربعات، مجموع مکعبات و مجموع عکس‌ آنها min است که متغیرها با هم برابر باشند، یعنی:  x=y

x+y=ctemin(x2+y2)=?min(x3+y3)=?min(1x+1y)=?x=y

تمرین

در مجموعه مستطيل های به محيط 20، مینیمم قطر چقدر است؟ 

2(a+b)=20a+b=10


مجموع دو متغیر مثبت مقداری ثابت است:

a+b=10 : فرض

min(d2)=min(a2+b2)=? : حکم

a=b=102=5 : شرط


قضایای محاسبه ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو


min(d2)=min(a2+b2)min(d2)=(52)+(52)min(d2)=50min(d)=50mind=52

دریافت مثال

قضیه

هرگاه n عدد مثبت x1,x2,,xn  مفروض باشد و S=x1λ++xnλ مقداری ثابت باشد، آن‌گاه  S=x1++xn وقتی max است که: 

x1=x2==xn=Snλ    ;    λ<0,λ>1

اثبات

if  λ>1,λ<0   ;    (x1++xnn)λx1λ++xnλnx1++xnnx1λ++xnλnλx1++xnnx1λ++xnλnλ

با توجه به‌این‌که S=x1λ++xnλ، سمت راست نامساوی همواره مقدار ثابتی است و x1++xn بیش‌ترین مقدار خود را وقتی اختیار می‌کند که نامساوی به تساوی تبدیل شود و آن‌ وقتی‌ است که: 

x1=x2==xn=Snλ

تمرین

قطر مستطيل، مقدار ثابت 42 است، اگر محيط آن max باشد، اضلاع مستطيل كدام هستند؟  

قضایای محاسبه ماکزیمم و مینیمم - پیمان گردلو


x2+y2=(42)2x2+y2=32


x2+y2=32 : فرض

max2(x+y)=? : حکم

x=y : شرط


x2+y2=32    ;    x=yx2+x2=322x2=32x2=16x=4y=4


در اين‌صورت با توجه به x=y=4 مستطيل به مربع تبديل می‌شود.

دریافت مثال

قضیه

اگر a1x+a2y++ant=k و k مقدار ثابتی باشد، آن‌گاه S=x2+y2++t2 وقتی min است که xa1=ya2==tan و مقدار این min برابر است با:

minS=k2a12+a22++an2

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

(a12+a22++an2)(x2+y2++t2)(a1x+a2y++ant)2

در نامساوی فوق، تساوی وقتی برقرار است که:

xa1=ya2==tan

برای به‌دست آوردن مقدار min عبارت S داریم:

(a12+a22++an2)(S)(k)2Sk2a12+a22++an2minS=k2a12++an2

تذکر

اگر ax+by=k و K مقدار ثابتی باشد، S=x2+y2 وقتی min است که xa=yb و مقدار این min برابر است با:   

k2a2+b2

اگر ax+by+cz=k و K مقدار ثابتی باشد، S=x2+y2+z2 وقتی min است که xa=yb=zc و مقدار این min برابر است با:   

k2a2+b2+c2

تمرین

اگر 2x+3y4=0 باشد، min عبارت زیر چقدر است؟

x2+y2

2x+3y=4 : فرض

min(x2+y2)=? : حکم

min(x2+y2)=k2a2+b2 : شرط


min(x2+y2)=k2a2+b2=42(2)2+(3)2=164+9=1613

دریافت مثال

قضیه

هرگاه مجموع مربعات چند متغیر مثبت مقداری ثابت باشد یعنی داشته‌باشیم S=x2+y2++t2 عبارت a1x+a2y++ant وقتی max است که داشته باشیم:

xa1=ya2==tan

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

(a12+a22++an2)(x2+y2++t2)(a1x+a2y++ant)2

(a12+a22++an2)(x2+y2++t2)(a1x+a2y++ant)

با توجه به این‌که S=x2+y2++t2 سمت راست نامساوی همواره مقدار ثابتی است و a1x+a2y++ant بیش‌ترین مقدار خود را وقتی اختیار می‌کند که نامساوی به تساوی تبدیل شود و آن وقتی است که‌:

xa1=ya2==tan

تذکر

هرگاه مجموع مربعات دو متغیر مثبت مقداری ثابت باشد x2+y2=cte، عبارت ax+by وقتی max است که: 

xa=yb

هرگاه مجموع مربعات سه متغیر مثبت مقداری ثابت باشد x2+y2+z2=cte، عبارت ax+by+cz وقتی max است که:

xa=yb=zc

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قضایای محاسبه ماکزیمم و مینیمم

15,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید