سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حدهای نامتناهی (تعریف)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

حد نامتناهی

می‌خواهیم حد تابع fx را وقتی که متغیر x به سمت a+ یا a- میل می‌کند و fx به عدد خاصی نزدیک نمی‌شود و به + یا - نزدیک می‌شود را بررسی کنیم.

تمرین

نمودار تابع fx=1x را در همسایگی راست x=0 در زیر رسم شده است:

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو 

جدول زیر، رفتار تابع را به ازای برخی از مقادیر x نشان می‌دهد:

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

وقتی x با مقادیر بزرگ‌تر از صفر به صفر نزدیک می‌شود، مقادیر fx به چه سمتی میل می‌کند؟

وقتی x با مقادیر بزرگ‌تر از صفر به صفر نزدیک می‌شود، مقادیر fx بدون هیچ محدودیتی افزایش می‌یابد.


به بیان دیگر می‌توان fx را از هر عدد مثبت دلخواهی که در نظر بگیریم، بزرگ‌تر کرد به شرطی که x را به اندازه کافی با مقادیر بزرگ‌تر از صفر، به صفر نزدیک کنیم، در این صورت می‌نویسیم:

limx0+1x=+

تعریف: فرض کنیم تابع f در یک همسایگی راست نقطه ای مانند a تعریف شده باشد در این‌صورت limxa+fx=+ بدین معنی است که می‌توانیم fx را به دلخواه، هر قدر بخواهیم از هر عدد مثبتی بزرگ‌تر کنیم به شرطی که x را از سمت راست به اندازه کافی به a نزدیک کرده باشیم.

یادآوری

نماد + نشان می‌دهد که حد فوق موجود نیست. 

چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی‌شود و مثبت بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش می‌دهد مقدار تابع از هر عدد مثبتی می‌تواند بزرگ‌تر باشد.

تمرین

نمودار تابع fx=1x را در همسایگی چپ x=0 در زیر رسم شده است:

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

جدول زیر، رفتار تابع را به ازای برخی از مقادیر x نشان می‌دهد:

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

وقتی x با مقادیر کوچک‌تر از صفر به صفر نزدیک می‌شود، مقادیر fx به چه سمتی میل می‌کند؟

وقتی x با مقادیر کوچک‌تر از صفر به صفر نزدیک می‌شود، مقادیر fx بدون هیچ محدودیتی کاهش می‌یابد.


به بیان دیگر می‌توان fx را از هر عدد منفی دلخواهی که در نظر بگیریم، کوچک‌تر کرد به شرطی که x را به اندازه کافی با مقادیر کوچک‌تر از صفر، به صفر نزدیک کنیم، در این صورت می‌نویسیم:

limx0-1x=-

 تعریف: فرض کنیم تابع f در یک همسایگی چپ نقطه ای مانند a تعریف شده باشد در این‌صورت limxa-fx=- بدین معنی است که می‌توانیم fx را به دلخواه، هر قدر بخواهیم از هر عدد منفی کوچک‌تر کنیم به شرطی که x را از سمت چپ به اندازه کافی به a نزدیک کرده باشیم.

یادآوری

نماد - نشان می‌دهد که حد فوق موجود نیست. 

چون مقدار تابع به عدد خاصی نزدیک نمی‌شود و منفی بی نهایت فقط یک نماد است که نمایش می‌دهد مقدار تابع از هر عدد منفی می‌تواند کوچک‌تر باشد.

نکته

تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی زیر نیز مشابه تعاریف فوق است:

limxa+fx=- و limxa-fx=+ 

توصیف حالت‌های مختلف حدهای یک طرفه نامتناهی در شکل‌های زیر آمده است:


حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

تمرین

نمودار تابع fx=1x را در همسایگی محذوف x=0 در زیر رسم شده است:

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

جدول زیر، رفتار تابع را به ازای برخی از مقادیر x نشان می‌دهد:

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

وقتی x به اندازه کافی به صفر نزدیک می‌شود، مقادیر fx به چه سمتی میل می‌کند؟

وقتی x به اندازه کافی به صفر نزدیک می‌شود، مقادیر fx از هر عدد دلخواهی بزرگ‌تر می‌شود و در نتیجه مقدار حد تابع یک عدد خاصی نمی‌شود و حد متناهی ندارد:

limx0+1x=+limx01x=+limx01x=+

تمرین

نمودار توابع در شکل‌های زیر داده شده‌اند، حدود نامتناهی را در همسایگی مجانب های قائم هر شکل بنویسید.

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

limx0+gx=

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

limx2fx=limx2+fx=+

حدهای نامتناهی - پیمان گردلو

limxπ2+hx=  limxπ2hx=+limxπ2+hx=

برای ارسال نظر وارد سایت شوید