سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد و تركیب توابع

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 23 مرتبه

مقدمه: فرض کنیم توابع limxagx=blimxbfx=L مفروض باشند، آیا همواره می‌توان تساوی زیر را نتیجه گرفت؟

limxafgx=L

تمرین

توابع fx=x1  ;  x20         ;  x=2 و gx=2 را در نظر بگیرید.

حد توابع فوق را در زیر محاسبه می‌کنیم:

limx3gx=2limx2fx=limx2x1=1

آیا می‌توان نتیجه گرفت کهlimx3fgx=1؟

fgx=f2fgx=0limx3fgx=0


مشاهده می‌کنیم که قضیه حدی ترکیب توابع، به صورتی که در فوق بیان کردیم، نمی‌تواند صحیح باشد.


یکی از عوامل اصلی در صحیح نبودن قضیه فوق آن است که تابع g در یک همسایگی a ثابت است.  

 قضیه حدی ترکیب توابع

قضیه

فرض کنیم limxagx=blimxbfx=L باشد.

در این‌صورت limxafgx=L است، اگر و فقط اگر حداقل یکی از دو شرط زیر برقرار باشد:

الف) fb=L

ب) یک همسایگی محذوف a وجود داشته باشد به‌طوری‌که به ازای هر x از این همسایگی gxb باشد. 

اثبات

فرض کنیم شرط fb=L برقرار باشد، یعنی داشته باشیم:

limybfy=fb

β>0      α1>0   ;  yb<α1fyfb<β


فرض کنیم y=gx بنابراین:

limgxbfgx=fb

β>0      α1>0    ;    gxb<α1fgxfb<β       Ι


چون limxagx=b در نتیجه:

α1>0    α>0    ;    0<xa<αgxb<α1        ΙΙ


با توجه به روابط ΙΙ  ,Ι داریم:  

β>0    α>0    ;    0<xa<αgxb<α1    ;    Ιfgxfb<β    ;    fb=LfgxL<βlimxafgx=L

دریافت مثال

نکته

در حالتی که هیچ یک از دو شرط  قضیه فوق برقرار نباشد، مسلما limxafgx برابر L نخواهد بود، اما ممکن است این حد موجود باشد یا نباشد، در این‌صورت بایستی ضابطه fog را تشکیل دهیم و حد را در صورت وجود محاسبه نمائیم.  

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

حد و تركیب توابع

2,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید