سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد تابع نمایی و لگاریتمی و کراندار

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

حد تابع نمایی

تابع fx=ax با شرط a1  ,  a>0 تابع نمایی یا تابع توانی نامیده می‌شود.

این تابع با دامنه R و برد 0,+ است.

حالت اول: اگر a>1 باشد، آنگاه تابع اکیدا صعودی است. 

حد تابع نمایی - پیمان گردلو

از نظر شهودی وقتی a>1 باشد، آنگاه:

limx+ax=+limxax=0

حالت دوم: اگر 0<a<1 باشد، آنگاه تابع اکیدا نزولی است. 

حد تابع نمایی - پیمان گردلو

از نظر شهودی وقتی 0<a<1 باشد، آنگاه:

limx+ax=0limxax=+

دریافت مثال

نکته

اگر x عدد حقیقی باشد، آنگاه: 

limx±1+1xx=elimx01+x1x=elimx±1+kxmx=emk

به اثبات این تساوی به مبحث دنباله مراجعه کنید.

دریافت مثال

نکته

اگر limxafx=1limxagx= باشد، آنگاه:

limxafxgx=limxa1+fx11fx1  .  fx1.gx=limxa1+fx11fx1gx   .  fx1=elimxagxfx1

دریافت مثال

حد تابع لگاریتمی

تابع fx=logax با شرط a1  ,  a>0 تابع لگاریتمی نامیده می‌شود.

حالت اول: اگر a>1 باشد، آنگاه تابع اکیدا صعودی است. 

حد تابع لگاریتمی - پیمان گردلو

از نظر شهودی وقتی a>1 باشد، آنگاه:

limx0+logax=limx+logax=+

حالت دوم: اگر 0<a<1 باشد، آنگاه تابع اکیدا نزولی است. 

حد تابع لگاریتمی - پیمان گردلو

از نظر شهودی وقتی 0<a<1 باشد، آنگاه:

limx0+logax=+limx+logax=

دریافت مثال

حد تابع کراندار  

تابع f:AB را روی مجموعه A کراندار گوئیم هرگاه عدد حقیقی k>0 وجود داشته باشد به‌طوری‌که:

xA    ;    fxk

به عبارت دیگر تابع f:AB را روی مجموعه A کراندار یا محدود گوئیم هرگاه مجموعه fA=fxxA یعنی بُرد آن، مجموعه‌ای کراندار باشد.

تعریف فوق با تعریف زیر معادل است:

تعریف: تابع f:AB را روی مجموعه A کراندار گوئیم هرگاه اعداد حقیقی M و m وجود داشته باشند، به‌طوری‌که:  

xA    ; mfxM

تمرین

آیا تابع زیر یک تابع کراندار است؟

fx=sinx

نمودار تابع فوق را در نظر بگیرید:


حد تابع کراندار - پیمان گردلو

تابع f یک تابع کراندار است و -1fx1، هم‌چنین نمودار تابع کراندار فوق همواره بین دو خط y=-1 و y=1 واقع است. 

قضیه

اگر توابع f و g روی A کراندار باشند، آنگاه توابع زیر روی A کراندار می‌باشند:

f+gxf.gxkfx    ;     kR

اثبات

اگر fx روی A کراندار باشد، داریم:

fx<M1   :   Ι

اگر gx روی A کراندار باشد، داریم:

gx<M2   :   ΙΙ

f+gx=fx+gxfx+gxM1+M2

f+gx روی A کراندار است.

f.gx=fx.gxfx.  gx<M1.M2

f.gx روی A کراندار است.

kfx=kfx=kfxkM1

kfx روی A کراندار است.

نکته

قضیه فوق در مورد fxgx وقتی برقرار است که fx و 1gx کراندار باشند. 

به عبارت دیگر اگر f کراندار و عدد حقیقی مثبت b وجود داشته باشد، به‌طوری‌که:

xA    ; gxb

آن‌گاه داریم:

fgx=fxgx=fxgxM1b

در این صورت fgx کراندار است.

تذکر

عکس قضایای فوق همواره صحیح نمی‌باشند.

ممکن است f±g یا f.g یا fg کراندار باشند، اما f یا g یا هر دو بی‌کران باشند.

تمرین

توابع fx=tanx و gx=cotx هر دو روی بازه 0,π2 بی‌کران می‌باشند، در صورتی‌که داریم:

f.gx=fx.gx=tanx.cotx=1


همان‌طور که مشاهده می‌کنید، تابع f.gx کراندار است. 

تذکر

اگر fx در دامنه اش کراندار و gx تابعی دلخواهی باشد به‌طوری‌که fgx تعریف شده باشد، آنگاه fgx در دامنه اش کراندار است.

fxMfgxM

تمرین

توابع با ضابطه های زیر را در نظر بگیرید:

y=sinxy=cosxy=xxy=1x

این توابع همگی در R کراندار هستند بنابراین با شرط معین بودن gx توابع زیر همگی کراندار هستند.

y=singxy=cosgxy=gxgxy=1gx

تذکر

ممکن است تابعی روی بازه ای کراندار اما روی بازه دیگر بی‌کران باشد.

تمرین

توابع fx=x و gx=tanx را در نظر بگیرید:

تابع fx=x در دامنه اش R بی‌کران می‌باشد درحالی‌که در همسایگی هر عدد صحیح کراندار است.


تابع gx=tanx در هر همسایگی π2 بی‌کران می‌باشد درحالی‌که همسایگی از صفر وجود دارد که تابع در آن کراندار است.

دریافت مثال

قضیه

اگر تابع fx در هر نقطه a دارای حد حقیقی باشد، آنگاه یک همسایگی a وجود دارد که fx کراندار است.

اثبات

limxafx=LRβ>0  α>0    ;    0<xa<αfxL<β     ;     if  β=1fxL<1fxL<1fx<L+1

نکته

عکس قضیه مطرح شده همواره صحیح نمی‌باشد، ممکن است fx کراندار باشد درحالی‌که حد نداشته باشد.

تمرین

توابع زیر را در نظر بگیرید:

fx=sin1x

gx=a    ;    xQb    ;    xRQ

تابع fx=sin1x در صفر حد ندارد اما در هر همسایگی محذوف صفر کراندار است.


تابع gx=a    ;    xQb    ;    xRQ با شرط ab در هیچ نقطه حد ندارد درحالی‌که در R کراندار است:

gxmaxa,b

قضیه

اگر limxafx=0 و تابع g به ازای هر x از یک همسایگی محذوف a تعریف شده و کراندار باشد، آنگاه:

limxafx.gx=0

اثبات

قضیه فوق نتیجه مستقیم قضیه فشردگی است و اکثر حدهایی را که بوسیله قضیه فشردگی ثابت کردیم به کمک این قضیه قابل ثابت است.

در قضیه فوق لزومی ندارد gx در a کراندار باشد اما لازم است در یک همسایگی محذوف a کراندار بوده و تعریف شده باشد.  

چون gx در یک همسایگی محذوف a تعریف شده و کراندار است، پس عدد حقیقی M>0 هست که به ازای هر x از این همسایگی gxM.  

fx.gx=fxgxMfxlimxaMfx=0limxafx.gx=0

دریافت مثال

قضیه

اگر limxafx=L0 و تابع g به ازای هر x از یک همسایگی محذوف a تعریف شده باشد اما دارای حد نباشد، آنگاه حد زیر وجود ندارد. 

limxafx.gx

اثبات

قضیه فوق مکمل قضیه قبلی است و در تعیین عدم وجود حد کاربرد دارد.

فرض کنیم hx=fx.gx باشد.

چون L0 پس L>0 یا L<0 در نتیجه بنابر قضیه مطرح شده یک همسایگی محذوف a وجود دارد که به ازای هر x از این همسایگی fx>0 یا fx<0 است.  

بنابراین gx=hxfx در a دارای حد باشد، آنگاه hxfx یعنی gx در a دارای حد است که متناقض با فرض است پس limxahx وجود ندارد.    

مثال‌ها و جواب‌ها

حد تابع نمایی و لگاریتمی و کراندار

5,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید