سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد و شعاع همسایگی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 34 مرتبه

تعریف حد بر اساس شعاع همسایگی 

برای روشن شدن مطلب و چگونگی رسیدن به یک تعریف ریاضی با یک تمرین شروع می‌کنیم:

تمرین

تابع با ضابطه fx=3x+1x1x1 را در نظر بگیریم:

این تابع به ازای چه مقادیر حقیقی تعریف شده است؟

این تابع به ازای تمام مقادیر حقیقی x به جزء x=1 تعریف شده است.


چون x1 است پس تابع را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

fx=3x+1x1

اگر x به سمت 1 میل کند، مقادیر مختلف تابع fx را بررسی کنید. 

برای این منظور در جدول زیر به‌جای x مقادیر نزدیک به 1 را قرار می‌دهیم، این مقادیر هم کوچک‌تر از یک و هم بزرگ‌تر از یک هستند، سپس مقادیر fx را محاسبه می‌کنیم.


حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

از بررسی جدول مشاهده می‌شود که هر چه x از دو طرف به 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود، fx به عدد 4 نزدیک‌تر است.

اگر x به اندازه ±0.001 تا 1 فاصله داشته باشد، fx به چه اندازه از تا 4 فاصله دارد؟ این فاصله را با قدر مطلق نشان دهید. 

اگر x به اندازه ±0.001 تا 1 فاصله داشته باشد، fx به اندازه ±0.003 تا 4 فاصله دارد:

0.001<x1<0.0010.003<fx4<0.0030<x1<0.001fx4<0.003

آیا عکس سوال فوق برقرار است؟

بله. می‌توانیم مقادیر fx را به 4 هر قدر که بخواهیم نزدیک کنیم به شرطی که x را به اندازه کافی به 1 نزدیک کرده باشیم.


یعنی fx4 می‌تواند به هر اندازه دلخواه کوچک باشد به شرطی که x-1 به اندازه کافی کوچک باشد. 

مفاهیم به اندازه کافی کوچک را با دو علامت α و β نمایش دهید ومطالب فوق را بازسازی کنید. 

به جای آن‌که بگوئیم fx4 به اندازه دلخواه کوچک باشد، می‌نویسیم به ازاء هر عدد مثبت دلخواه β>0 ، fx4<β است. 


 به جای آن‌که بگوئیم x-1 به اندازه دلخواه کوچک باشد، می‌نویسیم به ازاء هر عدد مثبت دلخواه α>0 ، x-1<α است. 


با توجه به جدول داریم:

if  x1<0.1fx4<0.3     ;     α=0.1β=0.3if  x1<0.01fx4<0.03     ;     α=0.01β=0.03


بنابراین می‌توانیم این عمل را به همین ترتیب ادامه داده و به ازای هر β>0 عدد مثبت α را طوری پیدا کنیم که fx4<β باشد به شرطی که 0<x-1<α باشد.     

حد fx وقتی x به عدد 1 میل می‌کند، برابر 4 است را به صورت ریاضی نشان دهید.

limx1fx=4

در حالت کلی، منظور از limxafx=L را بیان کنید. 


فرض کنیم تابع fx به ازای هر x از یک همسایگی محذوف a  تعریف شده باشد.


منظور از limxafx=L یعنی fx را به هر اندازه دلخواه که بخواهیم، بتوانیم به L نزدیک کنیم به شرطی که x را به اندازه کافی به a نزدیک کنیم.  


fx را به هر اندازه دلخواه که بخواهیم، بتوانیم به L نزدیک کنیم یعنی به ازای هر β>0 ، fxL<β است و x را به اندازه کافی به a نزدیک کرده باشیم یعنی وجود داشته باشدα>0 به قسمی که 0<x-a<α   

تعریف: فرض کنیم تابع y=fx در یک همسایگی محذوف a تعریف شده باشد، در این صورت:

limxafx=Lβ>0     α>0    ;    0<xa<αfxL<β

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

هرگاه گفته شود limxafx=L یعنی هر اندازه که بخواهیم اختلاف fx و L را از هم کم کنیم، می‌توانیم برای رسیدن به این مقصود، اختلاف x و a را کم کنیم که در این صورت به بیان ریاضی گفته می‌شود:

β>0       α>0    ;    0<xa<αfxL<β

لازم به توضیح است که عدد a ممکن است عضو دامنه تعریف f نباشد ولی حتما باید یک همسایگی محذوفه به مرکز a در دامنه تابع وجود داشته باشد. 

در مسائل مربوط به حد، مقصود پیدا کردن رابطه ای بین α و β است.

در حالت کلی نحوه نگارش حالات مختلف تعریف حد را به صورت زیر بررسی می‌کنیم:

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

هر تعریف حد، یک گزاره شرطی است که ضمنا مقدم آن محل تعبیر متغیر و تالی آن محل تعبیر تابع می‌باشد.

در ابتدای این گزاره شرطی دو سور  و  موجود است که  با تالی و  با مقدم تکمیل می‌شود.      

برای یافتن رابطه بین α و β به دنبال تالی رفته، آن را ساده می‌کنیم تا به مقدم برسیم.

نکته

روش عملی برای پیداکردن و اثبات حد تابع fx وقتی xa:

ابتدا با توجه به وضعیت تابع، حد آن را حدس می‌زنیم، فرض کنیم حدس ما عدد L باشد.

با انتخاب β>0 عبارت fxL را تشکیل می‌دهیم، پس از اعمال جبری و ساده کردن، اگر بتوانیم آن را به صورت تساوی زیر بنویسیم:  

fxL=xagx

در این صورت کار ساده خواهد بود، اگر gx برابر مقدار ثابتی باشد یا gx تابعی کراندار باشد، آنگاه این مقدار ثابت یا کران تابع را M می‌نامیم لذا: 

fxL==xagxMxa<βxa<βM

پس کافی است αβM اختیار شود.


درغیر این صورت با توجه به آن که x در یک همسایگی a واقع است و gx تابعی از x است، محل تلاقی gx را با محور x ها پیدا کرده، همسایگی از a مانند aα1  ,  a+α1 را اختیار می‌کنیم، که تابع به جزء احتمالا در a در تمام نقاط آن تعریف شده و فاصله aα1  ,  a+α1 شامل نقاط تلاقی با محور x ها نباشد.  


سپس بیشترین مقدار gx را در این فاصله مشخص می‌کنیم یعنی یک کران بالا مانند M برای gx پیدا می‌کنیم در این صورت مانند حالت قبلی خواهد بود، فقط در این حالت باید αminα1,βM انتخاب شود. 


معمولا برای سادگی محاسبات α=1 اختیار می‌شود.

این تا زمانی صحیح خواهد بود که نقاط تلاقی gx با محور x ها در فاصله a1  ,  a+1 واقع نباشند، در غیر این صورت مانند آنچه در فوق بیان شد عمل می‌کنیم.   

مفهوم طی کردن متغیر به سمت عدد حقیقی

وقتی بیان می‌شود که متغیر x به سمت عدد حقیقی a میل می‌کند یعنی xa منظور این است که xa و x متعلق است به یک همسایگی محذوف به مرکز a و شعاع α  

xaxaxNa,αaα<x<a+αα<xa<α0<xa<α

حالات مختلف میل کردن متغیر را در زیر بر می‌شماریم:

if   xa         α>0  ,  0<xa<α

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

if   xa+    α>0  ,  a<x<a+α

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

if   xa    α>0  ,  aα<x<a

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

if  x+        M>0   ,  x>M

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

if   x       M>0  ,  x<M

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

if   x        M>0   ,  x>M       

مفهوم طی کردن تابع به سمت عدد حقیقی

وقتی بیان می‌شود که تابع fx به سمت عدد حقیقی L میل می‌کند یعنی fxL منظور این است که fxL و fx متعلق است به یک همسایگی محذوف به مرکز L و شعاع β.

fxLfxLfxNL,βLβ<fx<L+ββ<fxL<βfxL<β

حالات مختلف میل کردن تابع را در زیر بر می‌شماریم:

if   fxL        β>0    ,    fxL<β

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

if   fx+         N>0    ,    fx>N

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

if   fx       N>0    ,    fx<N

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

if   fx          N>0    ,    fx>N

حد راست و شعاع همسایگی

فرض کنیم تابع با ضابطه y=fx در یک همسایگی محذوف راست a تعریف شده باشد.

می‌گوئیم fx در نقطه a حد راست برابر L دارد، هرگاه:

β>0   α>0  ;    a<x<a+αfxL<β

و چنین می‌نویسیم:

limxa+fx=L

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

در شکل فوق اگر متغیر x در دامنه f با مقدارهای بزرگ‌تر از عددی مانند a به a نزدیک شود و مقدارهای fx به عددی مانند L نزدیک شوند، می‌گوییم تابع در نقطه a حد راست دارد و مقدار این حد L است. 

حد چپ و شعاع همسایگی

فرض کنیم تابع با ضابطه y=fx در یک همسایگی محذوف چپ a تعریف شده باشد.

می‌گوئیم fx در نقطه a حد چپ برابر L دارد، هرگاه:

β>0    α>0   ;    aα<x<afxL<β

و چنین می‌نویسیم:

limxa-fx=L

حد و شعاع همسایگی - پیمان گردلو

در شکل فوق اگر متغیر x در دامنه f با مقدارهای کوچک‌تر از عددی مانند a به a نزدیک شود و مقدارهای fx به عددی مانند L نزدیک شوند، می‌گوییم تابع در نقطه a حد چپ دارد و مقدار این حد L است. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

حد و شعاع همسایگی

9,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید