سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

به بررسی حالاتی می‌پردازیم که تابع در یک نقطه حد ندارد.

حد چپ و راست تابع در یک نقطه برابر نباشند

اگر حد چپ و راست تابع در یک نقطه، دو عدد حقیقی نابرابر باشند یعنی حد چپ و راست با هم برابر نباشند، تابع در آن نقطه حد ندارد.

تمرین

تابع fx=x3    ;    x01              ;    x<0 را در نظر بگیرید.

نمودار این تابع را رسم کنید.

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو

limx0fx را محاسبه کنید.

یادآوری می‌کنیم در توابع چند ضابطه ای باید حد چپ و حد راست محاسبه شود.

limx0+fx=limx0+x3=03=3limx0fx=limx01=1


تابع در x=0 تعریف شده است و f0=-3 اما این تابع در 0 حد ندارد، زیرا حد چپ و راست با هم برابر نیست.

تمرین

حدهای چپ و راست و وجود حد را در نمودارهای زیر نشان دهید.

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو

limxafx=Llimxa+fx=limxafxlimxa+fx


تابع f در x=a حد ندارد، زیرا حدهای چپ و راست با هم برابر نیستند.

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو

limxa+fx=L2limxafx=L1limxa+fxlimxafx


تابع f در x=a حد ندارد، زیرا حدهای چپ و راست با هم برابر نیستند.

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو

limxa+fx=Llimxafx=Llimxa+fx=limxafx


تابع f در x=a حد دارد، زیرا حدهای چپ و راست با هم برابر هستند.

دریافت مثال

حد تابع به سمتمیل کند 

اگر حد تابع به سمت  میل کند تابع در آن نقطه حد ندارد.

لازم به توضیح است در بعضی کتب ریاضی در این حالت گفته می‌شود تابع دارای حد نامتناهی است. 

تمرین

حدهای چپ و راست و وجود حد را در نمودار زیر نشان دهید.

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو

limxa+fx=+limxa+fx=+


تابع f در x=a حد ندارد و حد تابع به سمت  میل کند و نامتناهی است.

تمرین

حد زیر را محاسبه کنید.

limx01x

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو

برای مقادیر بزرگ‌تر از صفر، هر چه به صفر نزدیک می‌شویم، مقدارهای fx هم مرتبا افزایش می‌یابد.


برای مقادیر کوچک‌تر از صفر، هر چه به صفر نزدیک می‌شویم، مقدارهای fx هم مرتبا کاهش می‌یابد.


حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو

limx0+1x=+limx0-1x=-

 

حد تابع به سمت مقدار مشخصی میل نکند

اگر حد تابع به سمت مقدار مشخصی میل نکرده، بلکه در فاصله‌ای در نوسان باشد، تابع در آن نقطه حد ندارد.

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limxsinx

limxsinx=sin   ,   1sin1


sin یک عدد نامشخص است که در فاصله -1,1 در حال نوسان است.


حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو

همسایگی چپ یا راست نقطه x=a در دامنه تابع نباشند

اگر xa میل کند و مقادیر کمتر از a یعنی a- و مقادیر بیشتر از a یعنی a+ در دامنه تعریف تابع نباشد، تابع در آن نقطه حد ندارد.

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limx11x2

دامنه تابع fx=1x2 را به‌دست می‌آوریم:

1x20x21x11x1    ;    Df=1,1


نمودار تابع فوق، به صورت زیر است:


حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو


مقادیر بزرگ‌تر از عدد یک در دامنه تابع، تعریف نشده است.


بنابراین همسایگی راست عدد یک، تعریف نشده است و درباره حد راست نمی‌توان صحبت کرد.1+Df


مقادیر کم‌تر از عدد یک در دامنه موجود است و همسایگی چپ این عدد تعریف شده است و حد چپ را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

1Dflimx1fx=limx11x2=112=0

limx2x2+3

دامنه تابع fx=x2+3 را به‌دست می‌آوریم:

x20x2    ;    Df=2,+


مقادیر کوچک‌تر از عدد 2 در دامنه تابع، تعریف نشده است.


بنابراین همسایگی چپ عدد 2، تعریف نشده است و درباره حد چپ نمی‌توان صحبت کرد.2-Df


مقادیر بیش‌تر از عدد 2 در دامنه موجود است و همسایگی راست این عدد تعریف شده است و حد راست را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

2+Dflimx2+fx=limx2+x2+3=3

limx2x24

دامنه تابع fx=x24 را به‌دست می‌آوریم:

x240x24x2    ;    Df=,22,+


نمودار تابع فوق، به صورت زیر است:

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد - پیمان گردلو


مقادیر بزرگ‌تر از عدد -2 در دامنه تابع، تعریف نشده است.


بنابراین همسایگی راست عدد -2، تعریف نشده است و درباره حد راست نمی‌توان صحبت کرد.-2+Df


مقادیر کم‌تر از عدد -2 در دامنه موجود است و همسایگی چپ این عدد تعریف شده است و حد چپ را می‌توان به صورت زیر محاسبه کرد:

2Dflimx2fx=limx2x24=224=0

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

حالاتی که تابع در یک نقطه حد ندارد

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید