سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

قضایای مقدماتی حد

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 41 مرتبه

حد تابع ثابت   

قضیه

حد تابع ثابت fx=c در هر نقطه برابر مقدار تابع ثابت c است:

if  fx=climxafx=c

اثبات

if  fx=climxafx=limxaclimxafx=c

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد توابع زیر را بدست می‌آوریم.

limx52

limx52=2


قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

limx75

limx75=5

limx42

limx42=2

limx50

limx50=0

حد تابع همانی

قضیه

حد تابع همانی fx=x در هر نقطه، برابر مقدار تابع در آن نقطه است:  

if  fx=xlimxafx=a

اثبات

if  fx=xlimxafx=limxaxlimxafx=a

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد توابع زیر را به‌دست می‌آوریم.

limx3x

limx3x=3


قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

limx7x

limx7x=7

limx7x

limx7x=7

limx0x

limx0x=0

حد مجموع یا تفاضل

قضیه

اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد مجموع(یا تفاضل) دو تابع در آن نقطه برابر با مجموع (یا تفاضل) حدهای آنها در همان نقطه است.

limxafx±gx=limxafx±limxagx

اثبات

اگر limxafx=l و limxagx=m باشد، آن‌گاه:

limxafx+gx=limxafx+limxagx=l+m


limxafxgx=limxafx+gx=limxafx+limxagx=limxafx+1limxagx=limxafxlimxagx=lm

تمرین

اگر fx=x و gx=2x-1 باشند: 

با استفاده از قضیه فوق limx2fx+gx را محاسبه کنید:

limx2fx=limx2x=limx22=2limx2gx=limx22x1=limx22xlimx21=41=3limx2fx+gx=limx2fx+limx2gx=2+3=5

تساوی limx2fx+gx=5 را روی نمودار توابع نشان دهید. 

قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

حد حاصل ضرب

قضیه

اگر λ یک عدد ثابت و limxafx=l باشد، آن‌گاه:

if  limxafx=llimxaλfx=λl

اثبات

limxaλfx=limxaλ.  limxafxlimxaλfx=λlimxafxlimxaλfx=λl

قضیه

اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد حاصل ضرب دو تابع در آن نقطه برابر با حاصل ضرب حدهای آنها در همان نقطه است.

limxafx×gx=limxafx×limxagx

اثبات

اگر limxafx=l و limxagx=m باشد، آن‌گاه:

limxafx×gx=limxafx×limxagx=l×m

قضیه

اگر limxafx=l باشد، آنگاه:

limxafxn=ln

اثبات

limxafxn=limxafx.fx......fxlimxafxn=limxafx.limxafx.  ........  .limxafxlimxafxn=limxafxnlimxafxn=ln

حد چند جمله ای

قضیه

در چند جمله ای زیر:

px=anxn+an1xn1++a1x1+a0

داریم:

limxapx=pa

اثبات

limxapx=limxaanxn+an1xn1+...+a1x1+a0                                  limxapx=limxaanxn+limxaan1xn1+...+limxaa1x1+limxaa0limxapx=anlimxaxn+an1limxaxn1+...+a1limxax1+a0limxa1limxapx=anan+an1an1+...+a1a1+a0                                         limxapx=pa                                                                                              

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد توابع زیر را به‌دست می‌آوریم.

limx13x2+2x7

=limx13x2+limx1(2x)limx17=3limx1x2+2limx1x7=312+2(1)7=2

limx218x4x3+5x12

=limx218x4limx2x3+limx2(5x)limx212=18limx2x4limx2x3+5limx2(x)limx212=182423+5(2)12=72

حد تقسیم

قضیه

اگر دو تابع در یک نقطه حد داشته باشند، حد تقسیم دو تابع در آن نقطه برابر با تقسیم حدهای آنها در همان نقطه است، به شرط آنکه حد تابع مخرج در آن نقطه صفر نشود، به عبارت دیگر:

limxafxgx=limxafxlimxagx    ;    limxagx0

اثبات

اگر limxafx=l و limxagx=m باشد، آن‌گاه:

limxafxgx=limxafx.1gxlimxafxgx=limxafx.limxa1gxlimxafxgx=limxafx.1limxagxlimxafxgx=limxafxlimxagxlimxafxgx=lm    ;    m0

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد تابع زیر را به‌دست می‌آوریم.

limx32x1x24x+1

=limx32x-1limx3x24x+1=limx32xlimx31limx3x2limx34x+limx31=2limx3xlimx31limx3x24limx3x+limx31  =2(3)1324(3)+1=52

حد ریشه

قضیه

اگر limxafx=l باشد، آن‌گاه:

if  limxafx=llimxafxn=ln

اثبات

limxafxn=limxafxn=ln

تمرین

با استفاده از قانون فوق، حد تابع زیر را به‌دست می‌آوریم.

limx52x6

limx52x6=limx52x6=256=4=2


قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو

حد مثلثاتی

قضیه

برای هر عدد حقیقی a داریم:

limxasinx=sinalimxacosx=cosalimxatanx=tanalimxacotx=cota

تمرین

نمودار توابع fx=sinx و gx=cosx در زیر رسم شده است:

قضایای مقدماتی حد - پیمان گردلو 

حدهای زیر را  از روی نمودار فوق محاسبه کرده‌ایم:

limxπ2sinx=1limxπsinx=0limxπ3sinx=32limxπ+sinx=0limx0cosx=1limxπ4cosx=22limxπ2cosx=0limxπ3+cosx=12

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limx0cosx2+sinx

=limx0cosxlimx02+sinx=limx0cosxlimx02+limx0sinx=cos02+sin0=12+0=12

limxπsinxcosx1+cos2x

=limxπsinxcosxlimxπ1+cos2x=limxπsinxlimxπcosxlimxπ1+limxπcos2x=sinπcosπ1+cos2π=011+12=0

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قضایای مقدماتی حد

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید