سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حد راست و حد چپ

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

مقدمه: برای ورود به بحث، تمرین زیر را مشاهده کنید.

تمرین

تابع با ضابطه fx=2-x را در نظر بگیرید.

دامنه این تابع را محاسبه کنید.

2x0x2    ;    Df=,2

حد تابع در نقطه x=2 را بررسی کنید.

تابع در همسایگی راست این نقطه تعریف نشده است، به عبارت دیگر مقادیر بزرگ‌تر از 2 در دامنه تابع موجود نیست.


تابع در همسایگی چپ این نقطه تعریف نشده است، به عبارت دیگر مقادیر گوچک‌تر از 2 در دامنه تابع موجود است و می‌توانیم رفتار تابع را در همسایگی چپ بررسی کنیم.


تابع در نقطه 2 حد ندارد.

نکته

گاهی لازم است، رفتار تابع را وقتی متغیر x با مقادیر بزرگ‌تر از a به a نزدیک می‌شود یا وقتی متغیر x با مقادیر کوچک‌تر از a به a نزدیک می‌شود را بررسی و توصیف کنیم.

تمرین

تابع با ضابطه fx=x+3    ;    x>2x2              ;    x<2 را در نظر بگیرید.

نمودار تابع را رسم کنید.

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

اگر متغیر x با مقادیر بزرگ‌تر از 2 به 2 نزدیک شود آن‌گاه مقادیر fx به چه عددی نزدیک می‌شود؟

اگر متغیر x با مقادیر بزرگ‌تر از 2 به 2 نزدیک شود آن‌گاه مقادیر fx به عدد 1 نزدیک می‌شود.

اگر متغیر x با مقادیر کوچک‌تر از 2 به 2 نزدیک شود آن‌گاه مقادیر fx به چه عددی نزدیک می‌شود؟

اگر متغیر x با مقادیر کوچک‌تر از 2 به 2 نزدیک شود آن‌گاه مقادیر fx به عدد 4 نزدیک می‌شود.

تعریف حد راست

فرض کنیم تابع با ضابطه y=fx در یک همسایگی محذوف راست a تعریف شده باشد.

می‌گوئیم fx در نقطه a حد راست برابر L دارد  و چنین می‌نویسیم:

limxa+fx=L

در شکل زیر اگر متغیر x در دامنه f با مقادیری بزرگ‌تر از عدد a به a نزدیک شود و مقادیر fx به عددی مانند L نزدیک شوند، می‌گوییم تابع در نقطه a حد راست برابر L دارد.

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو 

تعریف حد چپ

فرض کنیم تابع با ضابطه y=fx در یک همسایگی محذوف چپ a تعریف شده باشد.

می‌گوئیم fx در نقطه a حد چپ برابر L دارد  و چنین می‌نویسیم:

limxa+fx=L

در شکل زیر اگر متغیر x در دامنه f با مقادیری کوچک‌تر از عدد a به a نزدیک شود و مقادیر fx به عددی مانند L نزدیک شوند، می‌گوییم تابع در نقطه a حد چپ برابر L دارد.

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

تمرین

حدهای چپ و راست را در نمودارهای زیر نشان دهید.

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ، داریم:

limxafx=Llimxa+fx=


در شکل سمت راست، داریم:

limxa+fx=+limxa+fx=+

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

در شکل سمت چپ، داریم:

limxa+fx=L2limxafx=L1


در شکل سمت راست، داریم:

limxa+fx=Llimxafx=L

دریافت مثال

تذکر

1- اگر دو تابع f و g در یک همسایگی محذوف نقطه ای مانند a بر هم منطبق باشند، حد آنها در نقطه a مانند یکدیگر است، یعنی اگر یکی از آنها در a حد داشته باشد، دیگری هم حد دارد و حد آنها مساوی است.  

برای درک بهتر، به شکل زیر توجه کنید:

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

فرض کنیم بر اساس شکل فوق، تابع f در بازه 1,+ و تابع g در بازه ,3 رسم شده‌اند و دو تابع‌‌ در فاصله 1,3 بر هم منطبق هستند، بنابراین در یک همسایگی محذوف نقطه‌ای مانند a بر هم منطبق شده‌اند، همان‌طور که از شکل مشخص است، داریم:  

limxafx=limxagx=L

بنابراین حد هر دو تابع در همسایگی محذوف نقطه a با هم برابرند.‌


2- اگر دو تابع f و g در یک همسایگی چپ (یا راست) نقطه ای مانند a بر هم منطبق باشند، حد چپ(یاراست) این دو تابع در این نقطه مانند یکدیگر است.

برای درک بهتر، به شکل زیر توجه کنید:

حد راست و حد چپ - پیمان گردلو

فرض کنیم براساس شکل فوق، تابع‌ f در بازه 1,a و تابع g در بازه -,a رسم شده‌اند و در بازه 1,a بر هم منطبق هستند، بنابراین در یک همسایگی چپ نقطه a داریم:     

limxafx=limxagx=L

بنابراین حد چپ هر دو تابع دو نقطه a با هم برابرند.‌‌‌ 

این مطلب در مورد حد راست دو تابع صادق است.

مثال‌ها و جواب‌ها

حد راست و حد چپ

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید