سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

محاسبه حد چپ و راست (تابع کسری و ریشه مخرج)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 26 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

محاسبه حدهای چپ و راست در توابع کسری

اگر قانون تابع کسری باشد و x به سمت ریشه مخرج کسر میل کند (صورت کسر صفر نباشد) در این حالت حد  می‌شود و برای تعیین علامت  بایستی حتما حد چپ و راست را محاسبه کنیم.

تمرین

تابع با ضابطه fx=1x-2 را در نظر بگیرید. 

نمودار این تابع را رسم کنید.

حد چپ و راست - پیمان گردلو

مقادیر تابع در همسایگی راست x=2 چگونه است؟

وقتی x2+ میل می‌کند، در این حالت مخرج کسر یعنی x-2 عددی مثبت و کوچک نزدیک به صفر خواهد بود:

x-2=2+-2=2+α-2=α=0+ ; α>0


توجه کنید که α شعاع همسایگی است و کوچکترین عدد ممکن که به صفر نزدیک است. در واقع α معادل 0+ است.


در نتیجه 1x-2 مثبت و بسیار بزرگ می‌شود که مقدار آن می‌تواند از هر عدد مثبت دلخواهی بزرگ‌تر شود:

1x-2=10+=+


بنابراین همان‌طور که از نمودار هم دیده می‌شود:

limx2+1x2=+

مقادیر تابع در همسایگی چپ x=2 چگونه است؟

وقتی x2- میل می‌کند، در این حالت مخرج کسر یعنی x-2 عددی منفی و کوچک نزدیک به صفر خواهد بود:

x-2=2--2=2-α-2=-α=0- ; α>0


توجه کنید که α شعاع همسایگی است و کوچکترین عدد ممکن که به صفر نزدیک است. در واقع -α معادل 0- است.


در نتیجه 1x-2 منفی و بسیار کوچک می‌شود که مقدار آن می‌تواند از هر عدد منفی دلخواهی کوچک‌تر شود:

1x-2=10-=-


بنابراین همان‌طور که از نمودار هم دیده می‌شود:

limx2-1x2=-

تمرین

با رسم جدول، مقدار حد‌های زیررا تعیین کنید.

fx=xx1x21    ;    a=1

حد چپ و راست - پیمان گردلو


limx1+fx و limx1-fx موجود نیستند.


تابع f در x=1 حد ندارد، زیرا حد چپ و راست با هم برابر نیستند.  

fx=sinxx      ;      a=0

حد چپ و راست - پیمان گردلو


وقتی مقدار x به صفر نزدیک می‌شود، مقدار تابع fx به عدد 1 نزدیک می‌شود.

حد چپ و راست - پیمان گردلو 

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limx1x+1x1

limx1x+1x1=1+111=211=20=

limx0+x2+xx2

limx0+x2+xx2=limx0+x2x2+xx2=limx0+1+1x=+

limx2+x+2x2+4x+4

limx2+x+2x2+4x+4=limx2+x+2x+22=limx2+1x+2=12++2=10+=+

limx02cos2xx

limx02cos2xx=2cos00=210=10=

دریافت مثال

نکته

در توابع کسری اگر x به‌سمت ریشه ساده مخرج میل کند، حد  می‌شود که برای تعیین علامت  بایستی حدود راست و چپ را بررسی کنیم، در این صورت این کسر همواره دارای حد تابع ±می‌شود.  

تمرین

فرض کنیم می‌خواهیم limx23x2 را محاسبه کنیم:

L1=limx2+-3x-2=32+2=30+=L2=limx2-3x-2=322=30=+


بنابراین limx23x2=± می‌باشد.


± به این خاطر ظاهر شد که مخرج کسر دارای ریشه ساده می‌باشد. 

دریافت مثال

نکته

در توابع کسری اگر x به‌سمت ریشه مضاعف مخرج میل کند، حدود راست و چپ تابع یا + و یا - می‌شود.  

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limx11x12

L1=limx1+1x12=11+12=10+=+L2=limx11x12=11-12=10+=+

limx1-1x12

L1=limx1+-1x12=-11+12=-10+=-L2=limx1-1x12=-11-12=-10+=-

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

محاسبه حد چپ و راست (تابع کسری و ریشه مخرج)

6,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید