سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

حدهای نامتناهی (قضایا)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 29 مرداد 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 22 مرتبه

قضایای حد نامتناهی

قضیه

اگر n یک عدد طبیعی باشد، آن‌گاه:

limx0+1xn=+limx01xn=+    ;    n=2k    ;    n=2k+1

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limx0+1x4

limx0+1x4=+

limx01x4

limx01x4=+

limx01x3

limx01x3=

قضیه

if   limxa+fx=+limxafx=+limxafx=+   ,   if   limxafx=+limxa+fx=+limxafx=+

if   limxa+fx=limxafx=limxafx=   ,   if   limxafx=limxa+fx=limxafx=

تمرین

به تساوی های زیر توجه کنید:

limx1+2x1=+limx12x1=+limx12x1=+

تمرین

با استفاده از نمودار تابع داده شده و هم‌چنین قضایای بالا حاصل حد زیر را بدست آورید.

limx0  1x2

limx0+1x2=10+2=10+=+limx01x2=102=10+=+limx01x2=+

قضیه

اگر limxa  fx=L0 و limxa  gx=0 آنگاه:

الف) اگر L>0 باشد و مقادیر gx در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد، آن‌گاه:

limxa  fxgx=+


ب) اگر L<0 باشد و مقادیر gx در یک همسایگی محذوف a مثبت باشد، آن‌گاه:

limxa  fxgx=-


پ) اگر L>0 باشد و مقادیر gx در یک همسایگی محذوف a منفی باشد، آن‌گاه:

limxa  fxgx=-


ت) اگر L<0 باشد و مقادیر gx در یک همسایگی محذوف a منفی باشد، آن‌گاه:

limxa  fxgx=+


قضیه در حالتی که xa+ یا xa- نیز برقرار است. 

تمرین

حدود زیر را محاسبه کنید.

lim    x2x+14x2

=lim    x2x+12x2+x=2+1222+2=30+×4=+


توجه کنید که وقتی‌ x2 میل می‌کند، یعنی x در همسایگی چپ عدد 2 قرار دارد.

limx0+x1sinx

وقتی x در همسایگی راست صفر باشد، حد صورت کسر برابر -1 و حد مخرج کسر برابر صفر است و از آنجا که در همسایگی راست صفر sinx مقداری مثبت است در نتیجه طبق بند (ب) داریم:

limx0+x1sinx=01sin0+=10+=


به این نکته مهم توجه کنید که در sin0+، کمان سینوس در ربع اول است و سینوس در ربع اول مثبت است.

limx1x2+xx2+2x+1

از آنجا که حد فوق به‌صورت 00 در می‌آید و چون x1 پس می‌توان صورت و مخرج کسر را بر عامل ابهام کننده یعنی x+1 تقسیم کرد.

=limx1xx+1x+12=limx1xx+1=+

limx2+1xx+2

=122++2=32+0++2=30+=+

limx2x2x2

x22αx<2x=1lim    x2x2x2=2222=1220+2=10+=+

limx1+x21x12

limx1+x21x12=00

lim    x1+x21x12=lim    x1+x1x+1x1x1=lim    x1+x+1x1=1+11+1=20+=+

limx1x+1x1

=1+111=211=20=

limx02cos2xx

=2cos00=210=10=

تمرین

هزینه پاک سازی x درصد از آلودگی‌های شهری و صنعتی از رودخانه‌ای به وسیله تابعی، با ضابطه fx=255x100x محاسبه می‌شود که در آن x درصد آلودگی و fx هزینه پاک سازی بر حسب میلیون تومان است.

برای پاک سازی 95 از آلودگی‌های شهری و صنعتی از رودخانه، هزینه چقدر است؟

fx=255x100xf95=4845


در نتیجه نزدیک به پنج میلیارد تومان برای این کار لازم است. (پاک سازی بر حسب میلیون تومان است.)

برای پاک سازی 100 از آلودگی‌های شهری و صنعتی از رودخانه، هزینه چقدر است؟

دامنه تابع 0,100 است.

limx100255x100x=255100100100=2551000=+


و این بدان معنا است که با نزدیک شدن x به عدد 100 مقدار fx از هر عدد مثبت از پیش تعیین شده‌ای بزرگ‌تر خواهد شد لذا نمی‌توان صد در صد آلودگی‌های رودخانه را پاک سازی کرد.  

قضیه

limxafx=Llimxagx=+limxafxgx=0limxafx=Llimxagx=limxafxgx=0


قضیه در حالتی که xa+ یا xa- نیز برقرار است. 

تمرین

نمودار تابع y=tanx را رسم کنید.

حد تابع تانژانت را در همسایگی نقطه x=π2 محاسبه کنید.

limxπ2tanx=+limxπ2+tanx=

 limxπ2x+1tanx را محاسبه کنید.

lim    xπ2x+1tanx=π2+1=0       ;    xπ2+   π2+1+=0    ;    xπ2lim    xπ2x+1tanx=0

قضیه

if   limxafx=+limxagx=Llimxafx+gx=+limxafx.gx=+    ;    L>0limxafx.gx=    ;    L<0

if   limxafx=limxagx=Llimxafx+gx=limxafx.gx=    ;    L>0limxafx.gx=+    ;    L<0

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limx02x+1+1x2

=limx02x+1+limx01x2=1+=+

limx0+x+sin2xx2

=limx0+1x+sin2xx2=limx0+1x+limx0+sin2xx2=++1=+

limx0+x2+xx2

=limx0+x2x2+xx2=limx0+1+1x=+

limx2+x+2x2+4x+4

=limx2+x+2x+22=limx2+1x+2=12++2=10+=+

تمرین

توابع با ضابطه fx=1x2 و gx=x+1 را در نظر بگیرید.

حاصل limx0fx و limx0gx را به‌دست آورید.  

fx=1x2limx0+fx=lim  x0+1x2=10+2=10+=+limx0fx=lim  x01x2=102=10+=+limx0fx=+gx=x+1limx0gx=limx0x+1=1

تابع f+g را به صورت یک تابع گویا بنویسید.

fx=1x2gx=x+1f+gx=fx+gx=1x2+x+1=1+x3+x2x2=x3+x2+1x2

limx0f+gx را محاسبه کنید.

f+gx=x3+x2+1x2limx0f+gx=limx0x3+x2+1x2=102=+

چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

limx0f+gx=+limx0fx+limx0gx=++1=+limx0f+gx=limx0fx+limx0gx

تابع f×g را به صورت یک تابع گویا بنویسید.

fx=1x2gx=x+1fx×gx=1x2×x+1=x+1x2

limx0f×gx را محاسبه کنید.

fx×gx=x+1x2limx0fx×gx=limx0x+1x2=+

چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

limx0fx×gx=limx0x+1x2=+limx0fx×limx0gx=+×1=+limx0fx×gx=limx0fx×limx0gx

برای ارسال نظر وارد سایت شوید