سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

قضیه نامساوی مثلثاتی

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

قضیه نامساوی مثلثاتی در حد

قضیه

نامساوی مثلثاتی زیر برقرار است: 

sinxxtanx  ;  π2<x<π2

اثبات

قضیه نامساوی مثلثاتی - پیمان گردلو

sinx=MHoMoM=1sinx=MHtanx=AToAoA=1tanx=AT


SoAM<SoAM<SoAT

SoAM مساحت قطاع می‌باشد.


حالت اول: نامساوی را برای 0<x<π2 ثابت می‌کنیم:


یادآوری می‌کنیم که در دایره ای به شعاع R مساحت قطاع α رادیان برابر است با:

S=12R2αSoAM=1212x=12x


قضیه نامساوی مثلثاتی - پیمان گردلو


SoAM<SoAM<SoATSoAM<12x<SoAT12HM<12x<12AT12sinx<12x<12tanxsinx<x<tanx    ;    Ι


if     0<x<π2sinx<xtanx>x


حالت دوم: نامساوی را برای -π2<x<0 ثابت می‌کنیم:

sinx=sinxtanx=tanxsinx<x<tanxsinx<x<tanx    ΙΙ

if  π2<x<0sinx<xsinx>xtanx>xtanx<x

Ι,ΙΙsinx<x<tanxsinx<x<tanxsinxxtanx

تمرین

با استفاده از قضیه نامساوی مثلثاتی و قضیه فشار، حد توابع زیر را محاسبه کنید.

limx0xsinx  ;  0<x<π2

if   0<x<π2sinx>0sinx<x<tanxsinxsinx<xsinx<tanxsinx1<xsinx<1cosxlimx01<limx0xsinx<limx01cosx1<limx0xsinx<1limx0xsinx=1

limx0xsinx  ;  -π2<x<0

if    π2<x<00<x<π2sinx<x<tanxsinxsinx<xsinx<tanxsinxsinxsinx<xsinx<tanxsinx1<xsinx<1cosxlimx01<limx0xsinx<limx01cosx1<limx0xsinx<1limx0xsinx=1

limx0xtanx

limx0xtanx=limx0xcosxsinx=limx0xsinx1=1×1=1

تمرین

در شکل زیر، نامساوی های داده شده را ثابت کنید.

قضیه نامساوی مثلثاتی - پیمان گردلو

12sinx12x12tanx

مساحت های مثلث های OAM و OAT و قطاع OAM از دایره را بر حسب نسبت های مثلثاتی زوایه مثبت x بر حسب رادیان و خود زاویه x را محاسبه می‌کنیم:


SOMA=12MH×OA=12×sinx×1=12sinxSOTA=12AT×OA=12×tanx×1=12tanx

1xsinx1cosx

12sinx12x12tanxsinxxtanx      ;      sinx>0sinxsinxxsinxtanxsinx1xsinx1cosx

از نامساوی فوق ثابت کنید limx0xsinx=1

1xsinx1cosxlimx01limx0xsinxlimx01cosx1limx0xsinx1cos01limx0xsinx1limx0xsinx=1

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قضیه نامساوی مثلثاتی

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید