سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

صور مبهم صفر بر صفر (قاعده هم ارزی)

تاریخ انتشار: 13 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:
بازدید: 24 مرتبه

رفع ابهام صور مبهم00با استفاده از قاعده هم ارزی

تعریف دو تابع هم ارز

 توابع fx و gx را وقتی xa میل کند، هم ارز گویند هرگاه:

Ι   fa=0  ,  ga=0ΙΙ      limxafxgx=1

برای رفع ابهام کردن 00 می‌توان به جای هر تابع، هم ارز آن را قرار داد.

لازم به توضیح است که در موقع استفاده از هم ارزی باید قانون تابع به صورت حاصل ضرب درآمده باشد.

تمرین

مطلوب است تعيين a و b به‌قسمی که توابع زیر وقتی که x0 میل می‌کند، هم ارز باشند.

fx=xsinxgx=axb

شرط‌های هم ارزی را بررسی کنيم:

Ι   f0=0sin0=0g0=a0b=0ΙΙ    limx0fxgx=1limx0xsinxaxb=00


در حالت فعلی limx0xsinxaxb=00 است، پس آن‌قدر هوپيتال می‌گيريم که رفع ابهام شود:

limx0xsinxaxb=   Hlimx01cosxabxb1=00=   Hlimx0sinxabb1xb2=00=   Hlimx0cosxabb1b2xb3


در اين حالت، صورت صفر نيست برای اين‌که مخرج هم صفر نباشد کافی است توان x را مساوی صفر قرار دهيم:

=limx0cosxabb1b2x0    ;     if  b3=0b=3=1abb1b2


تابع رفع ابهام شده را مساوی عدد 1 قرار می‌دهيم:

1abb1b2=1abb1b2=1    ;    if   b=33a21=16a=1a=16limx0xsinx~16x3

دریافت مثال

چند هم ‌ارزی معروف

limx0sinax~ax  limxsin1ax~1ax

limx0tanax~axlimxtan1ax~1ax

limx0sin...sinax~axlimxsin....sin1ax~1ax     

limx0tan...tanax~ax  limxtantan...tan1ax~1ax

limx0Arcsinax~axlimxArcsin1ax~1ax

limx0Arctanax~axlimxArctan1ax~1ax

limx0axsinax~16ax3limx0tanaxax~13ax3

limx0axArcsinax~16ax3limx0Arctanaxax~13ax3

limx0tanaxsinax~12ax3limx0ArcsinaxArctanax~12ax3

limx01cosax~12ax2limx1cos1ax~121ax2

limfx01+fxn1~1nfxlimfx01+fxn~1nfx+1limfx01+fxn1~nfx

limfx01fx~1fx

limx0axn+bxn1++cx~cx

در کثیرالجمله ها اگر x0 میل کند و آن کثیرالجمله صفر شود، آن کثیرالجمله هم ارز با جمله ای است که دارای کوچک‌ترین توان است.

تمرین

حدود توابع زير را با استفاده از هم ارزی محاسبه نمایيد.

limx01+x2315x26x3

limx01+x2315x26x3=00


limx01+x2315x26x3=limx013.x25x2=115

limx01+x21x.sin2x

limx01+x21x.sin2x=00


limx01+x21x.sin2x=limx012x2x.2x=14

limx02xsin2x3xtan3x

limx02xsin2x3xtan3x=00


limx02xsin2x3xtan3x=lim162x3133x3=427

limxaArcsinx3a3Arctanx2a2

limxaArcsinx3a3Arctanx2a2=00


limxaArcsinx3a3Arctanx2a2=limxax3a3x2a2=   Hlimxa3x22x=32a

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

صور مبهم صفر بر صفر (قاعده هم ارزی)

13,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید