لیست

سرفصل‌های این مبحث

حد و همسایگی

صور مبهم صفر بر صفر (قاعده هوپیتال)

آخرین ویرایش: 05 دی 1400
دسته‌بندی: حد و همسایگی
امتیاز:

رفع ابهام صور مبهم00با قاعده هوپیتال

اکثر حدهایی را که به صورت‌های 00 و یا  باشند، با استفاده از قاعده‌ای معروف به قضیه هوپیتال می‌توان به سادگی محاسبه کرد.

قضیه

فرض کنیم توابع f و g در هر نقطه از فاصله aα  ,  a+αa مشتق پذیر است و داشته باشیم: 

limxafx=0limxagx=0

هم‌چنین به ازای هر x از این فاصله g'x0 در این صورت داریم:

limxafxgx=limxaf'xg'x=f'ag'a

اثبات

فرض کنیم fa=ga=0 باشد:

limxafxgx=limxafxfagxga=limxa fxfaxa gxgaxa=limxafxfaxalimxagxgaxa=f'ag'a

نکته

برای رفع ابهام کردن 00 می‌توان از قاعده هوپیتال استفاده نمود.

لازم به توضیح است که اگر در قانون تابعی چندین عامل صفر کننده به‌صورت حاصل ضرب وجود داشته باشد بهتر است از قاعده هوپیتال استفاده نکنیم بلکه به روش معمول، مسئله را حل کنیم.

تمرین

حدهای زیر را محاسبه کنید.

limx0sinxx

limx0sinxx=00


limx0sinxx=limx0cosx1=11=1

limt15t44t2110t9t3

limt15t44t2110t9t3=00


limt15t44t2110t9t3=limt120t38t127t2=208127=37

limx+exx2

limx+exx2=


limx+exx2=limx+ex2x=limx+ex2=+

limx0+xlnx

limx0+xlnx=limx0+lnx1/x=


limx0+xlnx=limx0+lnx1/x=limx0+1/x1/x2=limx0+(x)=0

limxxex

limxxex=limxex1/x=00


limxxex=limxex1/x=limxex1/x2=limxex2/x3=limxex6/x4=


همان‌طور که مشاهده می‌کنید با هوپیتال های متوالی، به جواب نمی‌رسیم. 


حد فوق را به روش معمول حل می‌کنیم:


limxxex=limxx1/ex=limxxex


در این قسمت از هوپیتال استفاده می‌کنیم:


limxxex=limxxex=limx1ex=0

limw4sin(πw)w216

limw4sin(πw)w216=00


limw4sin(πw)w216=limw4πcos(πw)2w=πcos(4π)8=π8

limtln(3t)t2

limtln(3t)t2=


limtln(3t)t2=limt1t2t=limt12t2=0

دریافت مثال

تذکر

عکس قضیه هوپیتال همواره برقرار نمی‌باشد.

ممکن است limxaf'xg'x موجود نباشد در حالی‌که limxafxgx موجود باشد. 

اگر از قضیه هوپیتال استفاده کنیم و حد موجود نباشد، نمی‌توان نتیجه گرفت که حد خود عبارت اصلی موجود نیست.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

صور مبهم صفر بر صفر (قاعده هوپیتال)

7,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید