لیست

معادلات لگاریتمی

آخرین ویرایش: 05 دی 1400
دسته‌بندی: لگاریتم
امتیاز:

حل معادلات لگاریتمی به‌صورتlogafx=b

بر اساس ویژگی مهم لگاریتم‌ها، داریم:

  a>0  ,  a1    ;    if   logafx=bfx=ab

تمرین

معادلات زیر را حل کنید.

log3x=4

x=34x=81

log2x1=1

x1=21x1=12x=12+1x=32

log0/01x=12

x=0/0112x=110012x=1100x=110

log9x=32

x=932x=3232x=33x=27

log5(2x+4)=2

2x+4=52


2x+4=25


2x=21


x=212

logx=1log(x3)

logx+log(x3)=1


log(x(x3))=1


x(x3)=101


x23x10=0


(x5)(x+2)=0x=2 , x=5


اگر جواب های به‌دست آمده را در معادله قرار دهیم فقط x=5 قابل قبول است.

log2(x26x)=3+log2(1x)

log2(x26x)log2(1x)=3


log2(x26x1x)=3


x26x1x=23


x26x1x=8


x26x=8(1x)


x26x=88x


x2+2x8=0


(x+4)(x2)=0x=4 , x=2


اگر جواب های به‌دست آمده را در معادله قرار دهیم فقط x=-4 قابل قبول است.

دریافت مثال

حل معادلات لگاریتمی به‌صورتlogafx=logagxlogfxA=loggxA

حالت اول: معادلات به‌صورت زیر را در نظر بگیرید:

logafx=logagx    ;      a>0  ,  a1

این معادلات با دستگاه های زیر هم ارز است:‌

logafx=logagxfx>0fx=gx

logafx=logagxgx>0fx=gx

تذکر

انتخاب یکی از دو روش فوق بستگی به آن دارد که حل کدام‌یک از دو نامعادله fx>0 و gx>0 ساده‌تر باشد.

تمرین

معادلات زیر را حل کنید.

log3x215=log32x

x215=2xx22x15=0x+3x5=0x+3=0x=3x5=0x=5


توجه کنید x=-3 قابل قبول نیست، زیرا در معادله‌ فوق صدق نمی‌کند. 

log10x230=log10x

x230=xx2x30=0x6x+5=0x6=0x=6x+5=0x=5


توجه کنید x=-5 قابل قبول نیست، زیرا در معادله‌ فوق صدق نمی‌کند. 

log104x=log106xlog10x

log104x=log106xx4x=6xxx4x=6x4xx2=6xx24xx+6=0x25x+6=0x2x3=0x2=0x=2x3=0x=3

دریافت مثال

 حالت دوم: معادلات به‌صورت زیر را در نظر بگیرید:

logfxA=loggxA     ;   A>0

این معادلات با دستگاه‌های زیر هم‌ارز است:‌

logfxA=loggxAfx>0fx1fx=gx

logfxA=loggxAgx>0gx1fx=gx

دریافت مثال

حل معادلات لگاریتمی به‌صورتloggxfx=b

loggxfx=bgx>0gx1fx=gxb

دریافت مثال

حل معادلات لگاریتمی به‌صورتlogfxgx=logfxhxloggxfx=loghxfx

حالت اول: معادلات به‌صورت زیر را در نظر بگیرید:

logfxgx=logfxhx

این معادلات با دستگاه‌های زیر هم‌ارز است:‌

logfxgx=logfxhxfx1fx>0gx>0gx=hx

logfxgx=logfxhxfx1fx>0hx>0gx=hx

تذکر

انتخاب یکی از دو روش فوق بستگی به آن دارد که حل کدام‌یک از دو نامعادله hx>0 و gx>0 ساده‌تر باشد.

دریافت مثال

حالت دوم: معادلات به‌صورت زیر را در نظر بگیرید:

loggxfx=loghxfx

این معادلات با دستگاه‌های زیر هم‌ارز است:‌

loggxfx=loghxfxgx>0fx>0gx1gx=hx

loggxfx=loghxfxhx>0fx>0hx1gx=hx

تذکر

انتخاب یکی از دو روش فوق بستگی به آن دارد که حل کدام‌یک از دو نامعادله hx>0 و gx>0 ساده‌تر باشد.

دریافت مثال

حل معادلات لگاریتمی به‌صورتloggxloghxfx=0

loggxloghxfx=0gx>0gx1loghxfx=1gx1gx>0hx>0hx1fx=hx

دریافت مثال

حل معادلات لگاریتمی به‌صورتlogapxlogakx=logafxlogagx

logapxlogakx=logafxlogagxlogapx+logagx=logafx+logakxlogapx.gx=logafx.kxpx.gx=fx.kx

معادله فوق پس از ساده شدن، هم‌ارز است با دستگاه زیر است:

px>0gx>0kx>0fx>0pxgx=fxkx

دریافت مثال

حل معادلات لگاریتمی با تغییر مبنا

اگر معادله شامل لگاریتم‌هایی با مبناهای مختلف باشد، قبل از هر کار، باید مبناها را برابر کرد.

برای این منظور، باید از قوانین زیر استفاده کنیم:

logab=logcblogca      ;    a,b,c>0   ,     a,c1

و یا در حالت خاص آن داریم:

logab=1logba  ;     a,b>0  ,   a,b1

دریافت مثال

حل معادلات لگاریتمی به‌صورتflogax=0

a>0  ,   a1    ;   flogax=0logax=t1logax=t2         logax=tn

که در آن tn  ,......  ,  t2  ,  t1 عبارتند از ریش ه‌های معادله ft=0.

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

معادلات لگاریتمی

30,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید