فرمول‌ های لگاریتم

آخرین ویرایش: 29 بهمن 1402
دسته‌بندی: لگاریتم
امتیاز:

قضایا و فرمول های لگاریتم 

قضیه

لگاریتم 1 در مبنای هر عدد، همواره صفر است.

loga1=0

اثبات

if    N=axlogaN=xif    1=a0loga1=0

قضیه

لگاریتم هر عدد در مبنای خودش همواره 1 است.

logaa=1

اثبات

if    N=axlogaN=xif    a=a1logaa=1

قضیه

logaMN=logaM+logaNlogaMN=logaMlogaN

اثبات

N=axlogaN=x1   if    M=axlogaM=x2   if    N=aylogaN=y

به اثبات تساوی زیر می‌پردازیم:

logaMN=logaM+logaN


1×2:M×N=axayMN=ax+y

logaMN=x+ylogaMN=logaM+logaN

به اثبات تساوی زیر می‌پردازیم:

logaMN=logaMlogaN


12:MN=axayMN=axay

MN=axylogaMN=xylogaMN=logaMlogaN

نکته

1- اگر تعداد جملات زوج باشد، حوزه تعریف رابطه می‌تواند وسیع‌تر باشد، در این حالت در دو طرف دیگر از قدرمطلق استفاده می‌کنیم. 

logaMNK=logaM+logaN+logaK+

2- نتایج حاصل از فرمول فوق بسیار با اهمیت می‌باشد:

loga1N=loga1logaN=0logaN=logaN

log5=log102=log10log2=1log2log5=1log2log2=1log5

قضیه

logapNm=mplogaN

اثبات

if    N=axlogaN=xNm=axm    ;    1

فرض كنيم logapNm=kx باشد، می‌خواهيم مقدار k را به‌دست آوريم:

logapNm=kxNm=apkxNm=apkx    ;    Nm=axmaxm=apkx

axm=apkxxm=pkxm=pkk=mp

if  logapNm=kxlogapNm=mplogaN

نکته

نتایج حاصل از فرمول فوق بسیار با اهمیت می‌باشد:

logaNm=mlogaNlogapN=1plogaN

در فرمول فوق اگر p زوج باشد، داریم:

logapN=1plogaN

logamNm=logaNlog1a1N=loga1N1=logaN

logapNm=loga1/pN1m= 1m 1p   logaN=pmlogaN

logaN=loga2N2=loga3N3==logaN=loga3N3=

قضیه

logba×logab=1

اثبات

if  logba=xa=bxif  logab=yb=aya=bx

a=ayxa=axyxy=1logba×logab=1

نکته

نتایج حاصل از فرمول فوق بسیار با اهمیت می‌باشد:

if    logba×logab=1logba=1logab

if    logMNa=1logaMNlogMNa=1logaM+logaN

قضیه

logba×logcb=logca

اثبات

1    :    if   logba=xa=bx2   :     if   logcb=yb=cy3   :      if   logca=za=cz

1,2  :  a=cyxa=cxy    ;    43,4  :  a=cza=cxycz=cxy

cz=cxyxy=zlogba×logcb=logca

نکته

1- تعمیم فرمول فوق به‌صورت زیر است:

logba×logcb×logdc××lognk=logna

2- نتیجه حاصل از فرمول فوق با اهمیت است: 

logba×logcb=logcalogba=logcalogcb

3- از این فرمول برای به‌دست آوردن مبنای مورد نیاز استفاده می‌کنیم:

logba=logcalogcb=logdalogdb=log100alog100b=

به‌جای مبناهای صورت و مخرج هر عدد مساوی می‌توان قرار داد.

قضیه

logalogblogcx=mx=cbam

اثبات

if    logcx=kx=ckif    logbk=pk=bpif    logap=mp=am

x=ck    ;    k=bpx=cbp    ;    p=amx=cbam

قضیه

N=alogaN

اثبات

if   logaN=xN=ax    ;    x=logaNN=alogaN

نکته

به‌طور کلی داریم:

xlogay=ylogax

یادآوری

فرمول‌ های لگاریتم - پیمان گردلو

تمرین

حاصل عبارات زیر را محاسبه کنید.

log216

=log224    ;    logcax=xlogca


=4log22    ;    logaa=1=41=4

log28

=log2812=log22312=log2232    ;    logcax=xlogca


=32log22    ;    logaa=1=321=32

log104+log1025

=log104×25    ;    logca+logcb=logcab

=log10100


=log10102    ;    logcax=xlogca=2×log1010    ;    logaa=1=2×1=2

   2log104+log104

=3log104


=3log1022    ;    logcax=xlogca


=3×2log102=6log102

  log454log32

=log3542    ;    logcalogcb=logcab


=log327=log333    ;     logcax=xlogca


=3log33    ;    logaa=1=31=3

  2log105+log104

=log1052+log104    ;    xlogca=logcax


=log1025+log104    ;    logca+logcb=logcab


=log1025×4=log10100=log10102    ;    logcax=xlogca


=2×log1010    ;    logaa=x=2×1=2

  2log102+log10250

=log1022+log10250    ;    xlogca=logcax


=log104+log10250    ;    logca+logcb=logcab


=log104×250=log101000=log10103    ;    logcax=xlogca


=3×log1010    ;    logaa=1=3×1=3

  3log1043log1025

=log10433log1025=log104log1025=log10425


=log10252=2log1025

تمرین

درستی تساوی ‌های زير را بررسی كنيد.

   log273×log327=1

log273×log327


=log103log1027×log1027log103    ;    logba=logcalogcb


=1

   log749=2

log749=log772=2log77=2×1=2

   log3log3log28=0

log3log3log28      =log3log3log223=log3log33log22


=log3log33×1  =log3log33           =log31    ;    loga1=0=0                            

   log335×log29×log258=2

log335×log29×log258

=log332512×log21232×log5223

= 12 32log35×2 12log23×32log52

=13×4×32log35×log23×log52


=13×4×32log551=2×1=2

102+12log16=20

102+12log16=102×1012log1042


=102×10log10412×2=102×10log104


=102×4=20

   log75162log59+log32243=log2

log75162log59+log32243

=log7516log592+log32243

=log 7516 2581+log32243


=log81×7516×25+log32243=log81×7516×25×32243=log2

1log1221log32=2

1log1221log32=log212log23=log2123


=log24=log222=2log22=2

   logazlogabz=1+logab         a>b>0  ,   z>0

logazlogabz=logaz×logzab=logzab×logaz

=logaab=logaa+logab=1+logab

log1552+log153×log1575=1

log1552+log153×log153×52

=log1552+log153log153+log1552

=log1552+log153log153+2log155


=log1552+log1532+2log155×log153

=log155+log1532=log155×32=log15152=1

   logn21+logn32++lognnn1=1

logn21+logn32++lognnn1


=logn21×32××nn1=lognn=1

   logxxxx33=12    ,    x>0,x1

logxxxx33=logxx4x33=logxx933=logxx918


=logxx=logxx12=12logxx=12

11+log53+11log315=1

11+log53+11log315=11+log53+11log351=11+log53+11+log35


=1+log35+1+log531+log531+log35

=1+log35+1+log531+log35+log53+log35×log53

=1+log35+1+log531+log53+log35+1=1

   log184163=169

log184163=x163=184x243=841x


243=234x243=234x34x=43x=169

loganlogbnlogan+logbn=logabn

loganlogbnlogan+logbn=1logna1lognb1logna+1lognb= 1lognalognb lognb+lognalognalognb


=1lognb+logna=1lognab=logabn

102+12log16=20

102+12log16=102×1012log1042


=102×10log10412×2=102×10log104=102×4=20

   102log64log2=32

102log64log2=10log642log2=10log6log2


=10log1062=62=32

   xlog2+loglogxlogx=2logx

xlog2+loglogxlogx=xlog2×logxlogx


=xloglogx2logx=xlogxlogx2=logx2=2logx

1logxxy+1logyxy=2    ,    1y>0   ,   1x>0

1logxxy+1logyxy=logxyx+logxyy


=logxyxy=logxy12xy=1 12logxyxy=2

   logatan1°logatan2°logatan89°=0

چون در عبارت فوق جمله زیر وجود دارد، پس عبارت مساوی صفر است:


logatan45=loga1=0

   logatan1°+logatan2°++logatan89°=0

logatan1°+logatan2°++logatan89°


=logatan1°×tan2°××tan89°


=logatan1°×tan2°××tan89°


=logatan1°×tan89°××tan45°××tan2°×tan88°


=logatan1°×cotg1°××tan45°××tan2°×cotg2°


=logatan45=loga1=0

   logab+logbc+logcdlogayxd=logxy

logab+logbc+logcdlogayxd


=logab+logbc+logcdlogaylogxd


=logalogb+logblogc+logclogdloga+logylogx+logd


=logxlogy=logxy

تمرین

با استفاده از شرط های داده شده، عبارت های مورد نظر را بیابید.

if logaba=4logaba3b=?

logabab=1logaba+logabb=1


4+logabb=1logabb=3


logaba3b=logaba3logabb


=13logaba12logabb=134123=176

if log1227=alogaba3b=?

log1227=alog1233=a3log123=a


log123=a3log312=3a


log33×22=3alog33+log322=3alog33+2log32=3a


1+2log32=3a2log32=3a1


log32=3a2alog23=2a3a



log616=log624=4log62


=4log26=4log23×2


=4log23+log22=4log23+1


=42a3a+1=43a3+a

if   log5=alog8100

log5=alog102=a


log10log2=a1log2=alog2=1a



log8100=log100log8=log102log23


=2log103log2=23×1a=231a

if   log1227=alog32=?

log1227=alog2712=1alog274×3=1a


log274+log273=1alog3322+log333=1a23log32+13log33=1a


23log32+13=1a23log32=1a13


log32=1a13×32log32=3a2a

if   log2x+y3=logx+logy24x2+y2=?

log2x+y3=logx+logy22log2x+y3=logx+logylog2x+y32=logx+logy


log2x+y29=logxy2x+y29=xy


2x+y2=9xy4x2+y2+4xy=9xy4x2+y2=5xy

if   log312=1alog964=?

log312=1alog34×3=1a


log34+log33=1alog34=1a1


log964=log3243=32log34=321aa

تمرین

اگر log1227=a باشد، آن‌گاه log32 را به‌دست آوريد.

log1227=alog2712=1alog274×3=1a


log274+log273=1alog3322+log333=1a23log32+13log33=1a23log32+13=1a


23log32=1a13log32=1a13×32log32=3a2a

تمرین

در تساوی زیر مقدار 3x را بیابید:

3x2=2log32

log33x2=log32log32


x2log33=log32×log32


x2=log322


x=log323x=2x=log32=log321=log3123x=12

تمرین

اگر 3a=5b=225 باشد، مقدار عبارت زیر را به‌دست آورید:

aba+b

روش اول - 

225=3alog3225=aa=log225log3

225=5blog5225=bb=log225log5


aba+b=log225log3×log225log5log225log3+log225log5


aba+b= log2252log3log5log225log5+log3log3log5


aba+b=log225log5+log3


aba+b=log225log15


aba+b=log152log15


aba+b=2×log15log15


aba+b=2


روش دوم - 

3a=2253=2251a5b=2255=2251b3×5=2251a×2251b


3×5=2251a×2251b


15=2251a+1b


15=225a+bab


15aba+b=225a+bababa+b


15aba+b=225


15aba+b=152


aba+b=2

تمرین

المپیاد ریاضی

اگر A=log53cosx باشد، آن‌گاه مقدار زیر را بیابید:

maxA

چون مقدار log53 كوچک‌تر از واحد است، هرچه cosx كوچک‌تر باشد، log53cosx بزرگ‌تر است:

if   1cosx1mincosx=1


A=log53cosxmaxA=log531


maxA=1log53maxA=log35

تمرین

مقدار A در تساوی زیر چقدر است؟

A=1005loglog2+log3log5

فرض کنیم:

A=1005B


B=loglog2+log3log5    ;    logm+logn=logm×n

B=log3×log2log5    ;    nlogm=logmn

B=loglog8log5    ;    logcalogcb=logba


B=log5log285B=log8


اینک به محاسبه A می‌پردازیم:

A=1005B    ;    5B=log8A=100log108    ;    xlogay=ylogax

A=8log10100A=82A=64

تمرین

اگر داشته باشیم:

log20/3log30/4

اختلاف ریشه های معادله زیر چقدر است؟

x2log30+2xlog6log56=0

log30=log3×10=log3+log10=0/4+1=1/4


log6=log2×3=log2+log3=0/3+0/4=0/7


log56=log5log6=log1020/7=log10log20/7=10/30/7=0


x2log30+2xlog6log56=0x21/4+2x0/70=0

1/4x2+1/4x=01/4xx+1=0

x=0x+1=0x=101=1

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

فرمول‌های لگاریتم

27,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید