سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

دترمینان (مساحت مثلث و معادله خط)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 30 مرتبه

محاسبه مساحت مثلث توسط دترمینان

قضیه

اگر Ax1,y1 و Bx2,y2 و Cx3,y3 راس‌های یک مثلث باشند، آن‌گاه مساحت مثلث ABC برابر است با قدرمطلق دترمینان زیر:

S=12x1y11x2y21x3y31

اثبات

مساحت مثلث - دترمینان - پیمان گردلو

از مساحت ذوزنقه استفاده می‌کنیم:

SABC=SACED+SBCEFSABFD=12y1+y3x3x1+12y2+y3x2x312y1+y2x2x1=12x2y3y2x3x1y3x3y1+x1y2x2y1=12x1y11x2y21x3y31

گذاشتن دو خط موازی کنار هم به معنی قدرمطلق دترمینان است.

اگر در این دترمینان سطر اول را در -1 ضرب کرده و با سطرهای دوم و سوم جمع کنیم چنین داریم:

S=12x1y11x2x1y2y10x3x1y3y10=12x2x1y2y1x3x1y3y1

تمرین

مساحت ABC را که C3,2  ,    B3,1  ,    A1,2 باشد، پیدا کنید.

S=12x1y11x2y21x3y31=12x2x1y2y1x3x1y3y1=122340=1212=6

نمایش معادله خط توسط دترمینان

قضیه

معادله خطی که از دو نقطه Aa,b و Bc,d می‌گذرد، عبارت است از:

اگر بخواهیم معادله خط را با دترمینان 3×3 نشان دهیم، داریم:

xy1ab1cd1=0

اگر بخواهیم معادله خط را با دترمینان 2×2 نشان دهیم، داریم:

xaybcadb=0

اثبات

معادله خط گذرنده از A:

yyA=mABxxAyb=mABxa    ;    mAB=dbcayb=dbcaxaybcaxadb=0xadbybca=0xaybcadb=0

تمرین

نشان دهید xy1241351=0 معادله خط گذرنده از نقاط B3,5  ,   A2,4 است.

با بسط دترمینان نسبت به سطر اول، ملاحظه می‌کنیم که دترمینان مزبور یک عبارت درجه اول بر حسب x و y است.


پس معادله مزبور معادله یک خط در صفحه است ، از طرفی با قرار دادن 2 و 4 به‌ترتیب به‌جای x و y دو سطر اول و دوم دترمینان مورد نظر مساوی می‌شوند، بنابراین مقدار دترمینان صفر می‌شود. 


پس نقطه A2,4 در معادله مزبور صدق می‌کند.


به‌طریق مشابه می‌توان دید که نقطه B3,5 هم در این معادله صدق می‌کند. بنابراین خط مزبور از دو نقطه A و B می‌گذرد.

ضریب زاویه خط xy1241461=0 را به‌دست آورید.

if  xy1ab1cd1=0mAB=dbcaif  xy1241461=0mAB=6442=5

تمرین

نقطه تقاطع دو خط به معادلات زیر، کدام است؟

xy1571421=0    ,xy1231571=0

1,1(4                    4,2(3                    5,7(2                    2,3(1

گزینه 2 صحیح است.


با قرار دادن x=5 و y=7 هر دو دترمینان دارای دو سطر مساوی می‌شوند، پس مقدارشان صفر می‌شود، یعنی این نقطه در هر دو معادله صدق می‌کند.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید