سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

دترمینان (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

دترمینان یک ماتریس اطلاعات مفیدی راجع به خود ماتریس و خواص آن به ما می‌دهد، از جمله این‌که:

  • وارون پذیری یک ماتریس از مقدار دترمینان آن ماتریس مشخص می‌شود.
  • در حل دستگاه‌ها و بحث در وجود یا عدم وجود جواب برای دستگاه از دترمینان استفاده می‌شود.
  • دترمینان در هندسه، برای محاسبه مثلث و متوازی الاضلاع پدید آمده توسط دو بردار به کار می‌رود.
  • به کمک دترمینان ماتریس ها، می‌توان حجم متوازی السطوح حاصل از سه بردار را به‌دست آورد و در ضرب خارجی دو بردار استفاده کرد.

تعریف دترمینان

به هر ماتریس مربع A عدد حقیقی به نام دترمینان آن ماتریس، نسبت داده می‌شود و به‌صورت A نشان می‌دهیم.

محاسبه دترمینان ماتریس

حالت اول) دترمینان هر ماتریس مربع A=a1×1 به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

if    A=a1×1A=a

تمرین

دترمینان ماتریس A=51×1 را محاسبه کنید. 

A=5

دترمینان ماتریس A=31×1 را محاسبه کنید. 

A=3

تذکر

علامت دترمینان را با مفهوم قدرمطلق اشتباه نگیرید.

حالت دوم) دترمینان هر ماتریس مربع A=abcd2×2 به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

if    A=abcdA=abcdA=adbc

تمرین

دترمینان هر یک از ماتریس های زیر را محاسبه کنید:

A=1245

A=1524=5+8=13

B=21105

B=25110=1010=0

I=1001

I=1100=1

 حالت سوم) دترمینان هر ماتریس مربع A=abcdefghi3×3 به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

A=abcdefghiA=aefhibdfgi+cdeghA=aeifhbdifg+cdheg

تذکر

روش ساروس

برای محاسبه  فقط دترمینان های ماتریس های مرتبه 3 می‌توان از روش ساروس به شرح زیر استفاده کنیم:

A=a1a2a3b1b2b3c1c2c3A=a1a2a3b1b2b3c1c2c3=?

A=a1a2a3b1b2b3c1c2c3     a1a2a3b1b2b3c1c2c3

A=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a1b3c2+a2b1c3+a3b2c1

تمرین

دترمینان ماتریس را محاسبه کنید.

A=311131113

A=311131113311131113=27+1+13+3+3=20

حالت چهارم) برای محاسبه دترمینان هر ماتریس مربع از مرتبه n دترمینان را بر حسب یک سطر یا یک ستون بسط می‌دهیم و علامت هر عضو دترمینان از دستور 1i+j قابل محاسبه است. 

تمرین

دترمینان ماتریس مربع زیر را محاسبه کنید: 

A=abcdefghijklmnop4×4

A=abcdefghijklmnopA=11+1afghjklnop+11+2beghiklmop+11+3cefhijlmnp+11+4defgijkmno

نکته

1- هرگاه دترمینان ماتریس A مساوی صفر باشد، ماتریس A را منفرد و اگر دترمینان ماتریس A مخالف صفر باشد، ماتریس A را غیر منفرد گویند.

2- دترمینان هر ماتریس قطری، بالا مثلثی، پایین مثلثی برابر حاصل ضرب درایه های واقع بر قطر اصلی آن است.

a000b000c=abcabc0de00f=adfa00bd0cef=adf


3- اگر A ماتریس اسکالر n×n باشد، آن‌گاه A=kn و اگر A ماتریس همانی n×n باشد، آن‌گاه A=1 است. 

k000k000k=k×k×k=k3

        100010001=1×1×1=1


4-
 دترمینان هر ماتریس پادمتقارن از مرتبه فرد صفر است و از مرتبه زوج عددی است که مربع کامل است.

A=0aba0cbc03×3A=0aba0cbc0A=0A=0aa02×2A=0aa0A=a2


5- 
هرگاه در یک دترمینان از مرتبه 3 تمام عضوهای لااقل یک طرف قطر فرعی همگی صفر باشند، مقدار دترمینان از ضرب عضوهای روی قطر فرعی در هم با تغییر علامت حاصل می‌شود. (قرینه حاصل ضرب عضوهای روی قطر فرعی)

00a0b0c00=abcabcde0f00=cef00a0bcdef=abd


6-
هرگاه A و B دو ماتریس مربع هم مرتبه باشند، آن‌گاه:

AB=AB

توجه شود که رابطه A+B=A+B همواره برقرار نیست.

تمرین

دترمینان ماتریس های زیر را محاسبه کنید:

A=2134

A=2413A=11

B=3142

B=3214B=2

تساوی A×B=A×B را نتیجه بگیرید:

A×B=2134×3142=202511A×B=211025A×B=22A×B=11×2=22A×B=A×B

نکته

7- اگر یک سطر یا یک ستون دترمینان را در عدد k ضرب کنیم، مقدار دترمینان در k ضرب می‌گردد: 

kakbcd=kabkcd=kabcd    ;    kabcdkakbkckdabckdkekfghi=abkcdekfghki=kabcdefghi


8- اگر ماتریسی از مرتبه n بوده و تمام عضوهای آن را در عدد k ضرب کنیم، مقدار دترمینان در kn ضرب می‌گردد: 

kabcd2×2=kakbkckd2×2kakbkckd=k2abcdkabcdefghi3×3=kakbkckdkekfkgkhki3×3kakbkckdkekfkgkhki=k3abcdefghi

به‌طور کلی اگر A ماتریس n×n و k یک عدد حقیقی باشد، آن‌گاه: 

kA=knAA=1nA

تمرین

دترمینان ماتریس زیر را محاسبه کنید: 

A=4120005400052

A=4312×54×52=100

نکته

9- اگر A ماتریس n×n، آن‌گاه برای هر عدد طبیعی k داریم: 

Ak=Ak

تساوی فوق را به روش استقرای ریاضی ثابت کنیم:  

p1:   n=1A1=A1

تساوی به‌ازای n=1 برقرار است.

فرض استقرای ریاضی:

pk:   n=kAk=Ak

حکم استقرای ریاضی:

pk+1:   n=k+1Ak+1=Ak+1

Ak+1=A.AkAk+1=AAk    ;     Ak=AkAk+1=AAkAk+1=Ak+1

تمرین

ماتریس A=001020300 مفروض است. تساوی زیر را ثابت کنید: 

A2=A2

A=001020300A=0200000030+10230=6A2=36A2=A×A=001020300×001020300=300040003A2=34003=36


از تساوی های فوق نتیجه می‌گیریم:

A2=A2

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دترمینان (تعریف)

1,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید