سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

دستگاه‌ های معادلات خطی (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 32 مرتبه

تعریف معادله خطی

هر معادله به‌صورت ax+by+cz=d را یک معادله خطی بر حسب متغیرهای x و y و z می‌گویند و a و b و c و d اعداد حقیقی ثابت هستند.

به‌طور کلی:

به هر معادله به‌شکل a1x1+a2x2+...+anxn=b یک معادله خطی گویند:

  • x1  ,  ...  ,  xn متغیرهای این معادله می‌باشند.
  • a1  ,  ...  ,  an ضرایب این معادله می‌باشند.
  • b ثابت این معادله می‌باشد.

معادله 0x1+0x2++0xn=b را در نظر بگیرید:

  1. اگر  b=0 باشد، در این‌صورت هر n تایی در Rn یک جواب این معادله است.
  2. اگر b0 باشد، در این‌صورت معادله فوق جواب ندارد.

تمرین

در تساوی‌های زیر کدام گزینه یک معادله خطی است؟ 

1)  2x13x2+5x3=12)  3x12x1x2+x3=73)  x1+sinx2=04)  x1 12+2x2=5

گزینه 1 معادله خطی است.

تعریف دستگاه معادله خطی

یک دستگاه معادله خطی m معادله و n مجهول، مجموعه معادلاتی به‌صورت زیر است:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2                    am1x1+am2x2+...+amnxn=bm

به‌عنوان نمونه، صورت کلی دستگاه سه معادله و سه مجهول خطی چنین است:

a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3

به‌عنوان نمونه، صورت کلی دستگاه دو معادله و دو مجهول خطی چنین است:

a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2

تذکر

برای هر دستگاه معادله خطی m معادله و n مجهول همواره سه حالت وجود دارد، دستگاه جواب ندارد یا نامتناهی جواب دارد یا یک جواب یکتا دارد.

یک دستگاه معادلات سازگار نامیده می‌شود اگر حداقل یک جواب داشته باشد.

یک دستگاه معادلات، ناسازگار نامیده می‌شود هرگاه هیچ جوابی نداشته باشد.

نکته

دستگاه خطی دو معادله و سه مجهول

دستگاه معادلات خطی دو معادله و سه مجهولی در حالت کلی به‌صورت‌های زیر است:

a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a11x+a12y+a13z=b1a21x+a22y+a23z=b2

این دستگاه شامل دو معادله و سه مجهول است که وضعیت دو صفحه را نشان می‌دهد.

الف) دو صفحه ممکن است، متقاطع باشند یعنی فصل مشترک این دو صفحه متقاطع یک خط است، در این‌صورت دستگاه نامتناهی جواب دارد.

ب) دو صفحه ممکن است بر هم منطبق باشند، در این‌صورت باز هم نامتناهی جواب دارند.

ج) دو صفحه ممکن است موازی هم باشند، در این حالت دستگاه دارای هیچ جوابی نمی‌باشد.

 در هیچ حالت دستگاه معادلات خطی دو معادله و سه مجهول فوق جواب یکتا وجود ندارد.

نکته

دستگاه معادلات خطی سه معادله سه مجهول

دستگاه معادلات خطی سه معادله و سه مجهول در حالت کلی به‌صورت زیر است:

a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3

دستگاه معادلات خطی سه معادله سه مجهول نشان دهنده سه صفحه است، از نظر هندسی سه حالت ممکن است اتفاق بیفتد.

الف) دستگاه جواب ندارد، در این حالت سه صفحه موازی و متمایز هستند یا فصل مشترک دو به دوی آنها با هم موازی هستند.

دستگاه معادله خطی - پیمان گردلو

ب) دستگاه بی‌شمار جواب دارد، در این حالت سه صفحه از یک خط گذاشته‌اند.

دستگاه معادله خطی - پیمان گردلو

ج) دستگاه یک جواب یکتا و منحصر به فرد دارد، در این حالت سه صفحه هر سه با هم فقط در یک نقطه مشترک هستند.

نمایش ماتریسی دستگاه معادلات خطی

دستگاه معادله خطی m معادله و n مجهول موجود است:

a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2                    am1x1+am2x2+...+amnxn=bm

a11a12...a1na21a22...a2nam1......amnAx1x2xnX=b1b2bnBAX=B

  • A را ماتریس ضرایب می‌نامند.
  • X را ماتریس مجهولات می‌نامند.

ماتریس افزوده دستگاه را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:

P=a11a12...a1nb1a21a22...a2nb2am1......amnbm

برای ارسال نظر وارد سایت شوید