سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

دترمینان (حاصل ضرب ماتریس‌ ها)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 32 مرتبه

دترمینان ماتریس‌های n×mوm×n

قبلا قضیه‌ای را بیان کردیم که اگر A و B دو ماتریس مربع هم مرتبه باشند، آن‌گاه AB=AB.

واضح است که اگر A و B مربع نباشند، A و B تعریف نمی‌شوند.

اگر Am×n و Bn×m آن‌گاه AB ماتریس مربع m×m است و AB تعریف می‌شود.

در این قسمت به‌طور خلاصه در دو حالت mn و m>n دو قضیه را بیان می‌کنیم.

قضیه

اگر ماتریس های Am×n و Bn×m موجود و mn آن‌گاه AB به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

در حالت A2×3 و B3×2 داریم:

اگر A=abcdef و B=a'd'b'e'c'f' آن‌گاه:

AB=abdea'd'b'e'+acdfa'd'c'f'+bcefb'e'c'f'

قضیه

در ماتریس Am×n اگر mn باشد، آن‌گاه AA'0.  

نکته

AA'=abcdefadbecfAA'=abdeadbe+acdfadcf+bcefbecf

AA'=abdeabde+acdfacdf+bcefbcefAA'=aebd2+afcd2+bfce20

قضیه

اگر ماتریس های Am×n و Bn×m موجود و m>n باشد، آن‌گاه AB=0

اثبات

به‌کمک افزودن ستون‌های صفر به A و سطرهای صفر به B ثابت می‌شود:

m-n ستون صفر به A و m-n سطر صفر به B اضافه می‌کنیم، داریم:  

AB=a11...a1n00...0a21...a2n00...0am1...amn00...0b11b12...b1mb21b22...b2mbn1bn2...bnm000000=0×0=0

نکته

در ماتریس Am×n اگر m>n باشد، آن‌گاه A'A=0.  

تمرین

اگر A=011101 باشد، آن‌گاه AA' را محاسبه کنید.

می‌توان در بحث مطرح شده، ابتدا AA' را محاسبه کرده، سپس دترمینان آن را محاسبه کرد.

Aaijm×n  ,  mn


با استفاده از روش مطرح شده در درس داریم:

if  A=abcdefAA'=abdeabde+acdfacdf+bcefbcefAA'=abde2+acdf2+bcef2

if  A=011101AA'=01102+01112+11012=1+1+1=3

در ماتریس A=1b1a4b اگر AA'=0 باشد، a+b را به‌دست آورید.

AA'=01ba42+11ab2+b14b2=04ab2+ba2+b24=0a=bb=±2ab=4   a=b=±2a=2b=2a=2b=2a+b=±4

به‌ازای چه مقادیر a در ماتریس A=1a2a03 تساوی A'A=0 برقرار است.

A'=1aa0233×2     :    m=3>n=2


بنابراین A'A=0 است، پس به‌ازای هر مقدار a داریم:

A'A=0

در ماتریس A=1a2035 به‌ازای چه مجموعه‌ مقادیر a تساوی A'A=0 برقرار است.   

A'A=100a302501a2035000A'A=100a302501a2035000=0×0A'A=0

به‌ازای هر مقدار a تساوی فوق برقرار است.

برای ارسال نظر وارد سایت شوید