لیست

سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

دستگاه های معادلات خطی (قاعده حذفی گوس و جردن)

آخرین ویرایش: 06 دی 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:

قاعده حذفی گوس - جردن

 دستگاه معادلات خطی3x+2yz=4x+3y+2z=72xy+z=5 را در نظر بگیرید.

این دستگاه را به‌صورت زیر می‌توان نوشت:

321413272115

ماتریس فوق را ماتریس افزوده دستگاه فوق می‌گویند.

روش حذف گوسی را به‌جای این‌که روی معادلات دستگاه داده شده انجام دهیم، روی سطرهای ماتریس افزوده اجرا می‌کنیم.

به این ترتیب که اعمال مقدماتی روی یک دستگاه به زبان ماتریس ها به‌صورت زیر بیان می‌شود:

قاعده حذفی گوس و جردن - پیمان گردلو

121325143215

  3R1+R3=R32R1+R2=R21213013100844

8R2+R3=R3121301310002884

دستگاه وابسته به ماتریس فوق عبارت است از:

x+2y+z=3y3z=1028z=84   x=2y=1z=3

نکته

برای حل دستگاهax+by=pcx+dy=q به روش حذفی گوس - جردن:

1- ماتریس افزوده دستگاه فوق را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

[abpcdq]

2- اعمال مقدماتی را روی ماتریس افزوده اجرا می‌کنیم تا به ماتریس افزوده زیر برسیم:

[10h01k]

3- جواب دستگاه به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

x=hy=k

تمرین

دستگاه های زیر را حل کنید.

3x2y=14x+3y=1

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[3214131]


[3214131]R1R2[1313214]


[1313214]R23R1R2[13101111]


[13101111]111R2[131011]


[131011]R13R2R1[104011]

x=4y=-1

2x+y=3x4y=2

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[213142]R1R2[142213]R2+2R1R2[142077]

[142077]17R2[142011]R1+4R2R1[102011]

x=2y=1

3x6y=92x2y=12

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[3692212]


[3692212]13R1[1232212]R2+2R1R2[123066]

[123066]16R2[123011]R1+2R2R1[105011]


x=-5y=-1

xy=62x+2y=1

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[116221]


[116221]R2+2R1R2[1160013]

از ماتریس افزوده فوق، نتیجه زیر حاصل می‌شود:

xy=60=13 ???


به یاد داشته باشید، اگر  در محاسبات به مرحله ای برسیم و معادله ای داشته باشیم که منطقی نباشد، راه حلی نداریم.


در واقع از لحاظ هندسی دو خط xy=62x+2y=1 با هم موازی هست و هیچ نقطه مشترک ندارد.

2x+5y=110x25y=5

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[25110255]


[25110255]12R1[1521210255]

[1521210255]R2+10R1R2[15212000]


از ماتریس افزوده فوق، نتیجه زیر حاصل می‌شود:

x+52y=120=0


معادله آخر یک معادله همیشه درست است و بنابراین هیچ اشکالی در این مورد وجود ندارد. 


در واقع از لحاظ هندسی دو خط 2x+5y=110x25y=5 بر هم منطبق هستند و دستگاه بی‌شمار جواب دارد.


جواب دستگاه به‌صورت زیر است:

y=tRx=52t12


توجه کنید که به ازای هر t، یک دسته جواب برای دستگاه فوق تولید می‌شود. 

نکته

برای حل دستگاه a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3 به روش حذفی گوس - جردن:

1- ماتریس افزوده دستگاه فوق را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

[a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3]

2- اعمال مقدماتی را روی ماتریس افزوده اجرا می‌کنیم تا به ماتریس افزوده زیر برسیم:

[100d1010d2001d3]

3- جواب دستگاه به‌صورت زیر معرفی می‌شود:

x=d1y=d2z=d3

تمرین

دستگاه های زیر را حل کنید.

3x+y2z=2x2y+z=32xy3z=3

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[312212132133]


[312212132133]R1R2[121331222133]

[121331222133]R23R1R2R32R1R3[121307570353]

[121307570353]17R2[1213015710353]

[1213015710353]R33R2R3[121301571002070]

[121301571002070]720R3[1213015710010]

[1213015710010]R2+57R3R2R1R3R1[120301010010]

[120301010010]R1+2R2R1[100101010010]

x=1y=-1z=0

3x+y2z=72x+2y+z=9xy+3z=6

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[312722191136]


[312722191136]R1R2R1[1131622191136]

[1131622191136]R22R1R2R3+R1R3[113160474102010]

[113160474102010]R2R3[113160201004741]

[113160201004741]12R2[11316010504741]

[11316010504741]R34R2R3[11316010500721]

[11316010500721]17R3[1131601050013]

[1131601050013]R1+3R3R[110701050013]

[110701050013]R1+R2R[100201050013]

x=-2y=5z=3

3x3y6z=32x2y4z=102x+3y+z=7

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[3363224102317]


[3363224102317]13R1[1121224102317]

[1121224102317]R22R1R2R3+2R1R3[1121000120135]


وقتی در محاسبات به ردیفی بر می‌خوریم که همگی صفر است یعنی دستگاه هیچ راه حلی نخواهد داشت و بنابراین دلیلی برای ادامه وجود ندارد به عبارتی، تساوی زیر هیچ‌گاه برقرار نیست:

0x+0y+0z=12

3x3y6z=32x2y4z=22x+3y+z=7

ماتریس افزوده دستگاه فوق به‌صورت زیر است:

[336322422317]13R1[112122422317]R22R1R2R3+2R1R3[112100000135]


[112100000135]R2R3[112101350000]R1+R2R1[105401350000]

معادله آخر یک معادله همیشه درست است و بنابراین هیچ اشکالی در این مورد وجود ندارد و بی‌شمار جواب دارد.

0x+0y+0z=0


جواب دستگاه به‌صورت زیر است:

x5z=4x=5z+4y3z=5y=3z+5


z=tx=5t+4y=3t+5


توجه کنید که به ازای هر t، یک دسته جواب برای دستگاه فوق تولید می‌شود. 

دریافت مثال

خرید پاسخ‌ها

دستگاه های معادلات خطی (قاعده حذفی گوس و جردن)

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید