سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

دستگاه های معادلات خطی (ماتریس وارون)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 02 شهریور 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 26 مرتبه

حل دستگاه‌ها به روش ماتریس وارون (معکوس)

روش ماتریس وارون، برای حل هر دستگاه n معادله و n مجهول صادق بوده و برای بیان مطلب، دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را در نظر می‌گیریم و به‌صورت ماتریس آن را می‌نویسیم:

ax+by=x'cx+dy=y'abcdxy=x'y'

ماتریس A=abcd را ماتریس ضرایب می‌نامند.

ماتریس X=xy را ماتریس مجهولات می‌نامند.

ماتریس B=x'y' را ماتریس مقادیر می‌نامند. 

دستگاه فوق به‌صورت تساوی ماتریس به‌فرم زیر تبدیل می‌شود:

AX=B

به‌فرض آن‌که ماتریس A وارون پذیر باشد، خواهیم داشت:

AX=BA1AX=A1BA1AX=A1BIX=A1BX=A1B

دریافت مثال

نکته

ماتریس A=abcd2×2 مفروض است، ماتریس A-1 را وارون ماتریس A می‌نامیم و به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

A1=1adbcdbca

در تساوی فوق مقدار adbc را دترمینان ماتریس A در نظر می‌گیریم.  

شرط وارون‌پذیری ماتریس A=abcd2×2 آن است که دترمینان این ماتریس مخالف صفر باشد:

adbc0adbc

دریافت مثال

تعبیر هندسی دستگاه دو معادله دو مجهول

دستگاه معادلات خطی دو معادله و دو مجهول در حالت کلی به‌صورت زیر است:

ax+by=ca'x+b'y=c'

از نظر هندسی، هر یک از این معادلات نشان دهنده یک خط راست است، یعنی مجموعه جواب های هر یک از معادلات، نقاط روی یک خط در صفحه می‌باشند و جواب دستگاه متناظر، یک نقطه مانند x,y است که تلاقی دو خط را نشان می‌دهد.

برای مجموعه جواب های دستگاه، دقیقا سه حالت زیر را داریم:

الف) اگر aa'bb' باشد، دو خط متقاطع هستند، در این‌صورت دستگاه یک جواب منحصر به فرد دارد.

دستگاه های معادلات خطی - ماتریس وارون - پیمان گردلو

ب) اگر aa'=bb'cc' باشد، دو خط موازی و متمایز هستند بنابراین دستگاه هیچ جوابی ندارد.

دستگاه های معادلات خطی - ماتریس وارون - پیمان گردلو

ج) اگر aa'=bb'=cc' دو خط منطبق هستند (یکی هستند) بنابراین دستگاه، نامتناهی جواب دارد.

دستگاه های معادلات خطی - ماتریس وارون - پیمان گردلو

تمرین

تعبیر هندسی برای جواب های هر یک از دستگاه های زیر را بیان کنید.

x+y=4xy=2

دو خط متقاطع اند، فقط یک جواب دارد.

x+2y=3x+2y=6

دو خط موازی و متمایز هستند، جواب ندارد.

x+y=22x+2y=4

دو خط منطبق هستند، نامتناهی جواب دارد.

نکته

در دستگاه معادلات خطی دو معادله و دو مجهول ax+by=ca'x+b'y=c'

اگر ماتریس A=aba'b' را ماتریس ضرایب بنامیم در این‌صورت داریم: 

1- اگر A0 آن‌گاه دستگاه ax+by=ca'x+b'y=c' دارای یک جواب منحصر به‌فرد است. (دو خط متقاطع هستند.)

2- اگر A=0 آن‌گاه دستگاه ax+by=ca'x+b'y=c' فاقد جواب است (دو خط موازی هستند) یا این‌که دستگاه بی‌شمار جواب دارد. (دو خط برهم منطبق هستند.)   

تمرین

جواب دستگاه‌های زیر را بررسی کنید:

2x3y=34x+6y=1

شیب هریک از خطوط فوق را مشخص می‌کنیم:

L:2x3y=33y=2x+3y=23x1m=23    ;    h=1L':4x+6y=16y=4x+1y=46x+16y=23x+16m'=23    ;    h'=16m=m'LL'


این دو خط موازی هستند و بر هم منطبق نیستند زیرا hh'.


ماتریس ضرایب دستگاه را تشکیل می‌دهیم:

2346xy=31


دترمینان ماتریس ضرایب A=2346 را محاسبه می‌کنیم:

A=2634=0


ماتریس A وارون پذیر نیست زیرا A=0 است و دستگاه جواب ندارد زیرا دو خط موازی هستند.

x3y=23x+9y=6

شیب هریک از خطوط فوق را مشخص می‌کنیم:

L:x3y=23y=x+2y=13x23m=13    ;    h=23L':3x+9y=69y=3x6y=39x69y=13x23m'=13    ;    h'=23m=m'LL'


ماتریس ضرایب دستگاه را می‌نویسیم:

1339xy=26


دترمینان ماتریس ضرایب A=1339 را محاسبه می‌کنیم:

A=1933=0


ماتریس A وارون پذیر نیست زیرا A=0 است، بنابراین دستگاه بی‌شمار جواب دارد، زیرا دو خط برهم منطبق هستند.

مثال‌ها و جواب‌ها

دستگاه های معادلات خطی (ماتریس وارون)

1,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید