سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ماتریس وارون (تعریف)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 25 مرتبه

در اعداد حقیقی، وارون هر عدد حقیقی مانند a با شرط a0 را با 1a نشان می‌دهیم و همواره a×1a=1 و عدد یک، عضو خنثی برای عمل ضرب است. 

تعریف ماتریس وارون

هرگاه برای ماتریس مربع A ماتریس مربع B هم مرتبه با آن یافت شود به‌ قسمی‌که داشته باشیم:

AB=BA=I

در این‌صورت ماتریس B را وارون ماتریس A نامیده و برعکس.

وارون ماتریس A را به‌شرط موجود بودن با A-1 نشان می‌دهیم و همواره داریم:

AA1=A1A=I

تمرین

نشان می‌دهیم ماتریس B=1427 وارون ماتریس A=7421 است.  

A×B=7421×1427=1001=IB×A=1427×7421=1001=IA×B=B×A=I

دریافت مثال

قضیه

اگر A=abcd و A1=xyzt باشد، وارون A به‌صورت زیر محاسبه می‌شود: 

A1=xyzt=dadbcbadbccadbcaadbc=1adbcdbca

اثبات

AA1=Iabcdxyzt=1001ax+bzay+btcx+dzcy+dt=1001ax+bz=1ay+bt=0cx+dz=0cy+dt=1

caax+bz=1cx+dz=0acx+bcz=cacxadz=0bczadz=czbcad=cz=cbcadz=cadbccx+dz=0cx=dzx=dcz=dccadbcx=dadbc

caay+bt=0cy+dt=1acybct=0acy+adt=abct+adt=atbc+ad=at=abc+adt=aadbcay+bt=0ay=bty=bat=baaadbc=badbcy=badbc

A1=xyzt=dadbcbadbccadbcaadbc=1adbcdbca

قضیه

وارون ماتریس A به‌شرط موجود بودن، منحصربه‌فرد است.

اثبات

به‌فرض برای ماتریس مربع A دو وارون B و C وجود داشته باشد، ثابت می‌کنیم B=C است، یعنی وارون ماتریس A منحصربه‌فرد است. 

AB=BA=IAC=CA=IB=IB=CAB=CAB=CI=C

یعنی B با C برابر است. 

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

ماتریس وارون (تعریف)

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید