سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ماتریس وارون (قضایا)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 39 مرتبه

قضیه

اگر A=aij یک ماتریس n×n باشد، آن‌گاه:

AA*=A*A=AIn

اثبات

AA*=a11a12...a1na21a22a2nai1ai2...ainan1an2...annn×nA11A21...Aj1...An1A12A22...Aj2...An2A1nA2n...Ajn...Annn×n


=A0...00A...000...An×n=AIn

i,jامین درایه در AA* به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=A    ;    i=j0       ;    ij

دریافت مثال

قضیه

اگر A=aij یک ماتریس n×n باشد، آن‌گاه:

A1=1AA*

اثبات

یادآوری می‌کنیم که:

AA*=AA=AI

AA*=AIAA*=AAA1    ;    AA1=A1A=IAA*A=AA1A*A=A1A1=1AA*    ;    A*=N'

دریافت مثال

نکته

اگر A=abcd و A-1 وارون A باشد، داریم:

A1=1AA*A1=1adbcdbca

دریافت مثال

تذکر

وارون ماتریس قطری

نشان دادیم شرط لازم و کافی برای آن‌که ماتریس An×n وارون پذیر باشد آن است‌که A0.

هم‌چنین ثابت کردیم که دترمینان هر ماتریس قطری، بالا مثلثی و پایین مثلثی برابر حاصل ضرب درایه های روی قطر اصلی است.

اگر حداقل یک درایه روی قطر اصلی هر یک از این ماتریس ها صفر شود آن‌گاه ماتریس وارون پذیر نمی‌باشد، زیرا دترمینان آن صفر می‌شود.

شرط لازم و کافی برای آن که یک ماتریس قطری وارون پذیر باشد آن است که تمام درایه های روی قطر اصلی آن مخالف صفر باشد.

if    A=d10......00d2......000d3...00.........dnA1=1d1............1d2...............1dn

if    A=0d10d20dn0A1=01dn01d21d10

تمرین

if     A=a000b000cA1=1a0001b0001cif     A=00a0b0c00A1=001c01b01a00

دریافت مثال

تذکر

وارون ماتریس بالا مثلثی و پائین مثلثی

شرط لازم و كافی برای آن‌كه یک ماتریس بالا مثلثی یا پایین مثلثی وارون پذیر باشد آن است كه تمام درایه‌های روی قطر اصلی آنها مخالف صفر باشد.

اگر A=aij یک ماتریس مثلثی وارون پذیر باشد، آن‌گاه درایه‌های روی قطر اصلی A-1 عبارتند از: 

1a11,1a22,...,1ann

اگر A=aij یک ماتریس مثلثی (بالا مثلثی یا پائین مثلثی) باشد:

درایه‌های روی قطر اصلی A-1 عبارتند از: 1a11,1a22,...,1ann  

وارون هر ماتریس بالا مثلثی (پایین مثلثی)، ماتریسی است بالا مثلثی (پائین مثلثی).

اگر A بالا مثلثی (پائین مثلثی) باشد، ماتریس الحاقی A یعنی A* هم بالا مثلثی (پائین مثلثی) است:  

if    A=axy0bz00cA1=1axabxzbyabc01bzbc001c

دریافت مثال

قضیه

اگر A=aij یک ماتریس n×n باشد، آن‌گاه:

A*=An1=N

اثبات

AA*=AIAA*=AIAA*=AnA*=An1

تمرین

اگر A=002021121 باشد، آن‌گاه 2A* را بیابید. 

A=42A*=23A*    ;    A*=An12A*=23A312A*=23A2    ;    A=42A*=23422A*=8×162A*=128

قضیه

اگر A=aij یک ماتریس n×n باشد، آن‌گاه:

A*1=1AA=A1*

اثبات

AA*=A*A=AI1AAA*=1AA*A=1AAI1AAA*=A*1AA=I

A*1AA=I1AA=IA*1AA=I×A*11AA=A*1A1=1AA*A11=1A1A1*A=AA1*1A.A=A1*A1*=A*1=1A.A

دریافت مثال

قضیه

اگر A=aij یک ماتریس n×n باشد، آن‌گاه:

AB*=B*A*

توجه شود که Bn×n وارون پذیر است.

اثبات

AB1=B1A11ABAB*=1BB*1AA*1ABAB*=1ABB*A*AB*=B*A*

دریافت مثال

قضیه

اگر A=aij یک ماتریس n×n باشد، آن‌گاه:

A**=An2.A

اثبات

A*A=AIA*A*=AI*A*A**=A*I    ;    A*=An1A*A**=An1IAA*A**=An1×AAIA**=An1×AA**=An2A

قضیه

اگر A=aij یک ماتریس n×n باشد، آن‌گاه:

A**=An12

اثبات

A*=An1A**=An1*A**=A*n1    ;    A*=An1A**=An1n1A**=An12

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

ماتریس وارون (قضایا)

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید