سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ضرب دو ماتریس

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 41 مرتبه

مقدمه‌ای بر ضرب دو ماتریس

اگر A ماتریسی سطری و B ماتریسی ستونی باشد به‌طوری‌که تعداد ستون های ماتریس A  با تعداد سطرهای ماتریس B برابر باشند، در این‌صورت حاصل ضرب آنها یعنی A×B را می‌توان تعریف کرد.

برای ضرب آنها کافی است هر درایه ماتریس A را در درایه نظیرش در B ضرب کنیم و حاصل این ضرب ها را با هم جمع کنیم که در این‌صورت ماتریسی 1×1 که یک عدد حقیقی است، حاصل می‌شود.

تمرین

اگر A=12035 و B=23712 باشد، حاصل ضرب زیر را بیابید.

A×B

A×B=120351×5×2 3 7125×1=12+23+07+31+52=15=15

ضرب ماتریس در ماتریس

ماتریس های A و B موجود هستند، C=A×B وقتی وجود دارد که تعداد ستون‌های ماتریس A با تعداد سطرهای ماتریس B برابر باشند.

اگر A=aijmnB=bijnp دو ماتریس مفروض باشند، داریم:

C=A×Bcijm×p=aijm×n×bijn×pcijm×p=k=1naik.bkjm×p

=ai1ai2...ainb1jb2jbnjستون jام ماتریس×Bسطر iام ماتریسCij=A

Cij=ai1b1j+ai2b2j++ainbnj=k=1naikbkj

تمرین

حاصل ضرب دو ماتریس زیر را مشاهده کنید.

A×B=1213211243×3×2312453×2=12+21+1413+22+1532+21+1433+22+1512+21+4413+22+453×2=4281816133×2

دریافت مثال

نکته

اگر Am×n و Bn×p دو ماتریس باشند، آن‌گاه Am×n×Bn×p تعریف می‌شود و اگر هدف یافتن سطر و ستون خاصی از ماتریس AB باشد، چنین داریم:

[ستون Jام ماتریس B]=A×ستون Jام ماتریس AB

×B[سطر iام ماتریس A]=سطر iام ماتریس AB

[ستون Jام B]×[سطر iام A]=ستون iام و ستون Jام ماتریس AB

دریافت مثال

خواص عمل ضرب ماتریس‌ها

خاصیت اول- سه ماتریس زیر را در نظر بگیرید:

A=aikmn  ,  B=bkjnp  ,  C=ckjnp

تساوی های زیر در ضرب ماتریس ها، موجود است:

1     AB+C=AB+AC2     λAB=λAB=AλB3     ABC=ABC

تمرین

اگر  A=121021 و B=1123 و C=2311 مفروض باشند، تساوی های زیر را ثابت کنید.

A×B+C=A×B+A×C

A×B+C


=121021×1123+23113×2


=121021×32142×2


=5103250



A×B+A×C


=121021×1123+121021×2311


=551105+052355


=5103250

A×B×C=A×B×C

A×B×C


=121021×1123×2311


=1210213×2×32192×2


=5203255



A×B×C


=121021×1123×2311


=551105×2311


=5203255

دریافت مثال

خاصیت دوم- ضرب ماتریس ها در حالت کلی خاصیت جابه‌جایی ندارد:

A×BB×A

دریافت مثال

خاصیت سوم- هرگاه ضرب دو ماتریس برابر صفر باشند، نمی‌توان نتیجه گرفت که لااقل یکی از ماتریس های عامل ضرب برابر صفر است:

if  AB=O¯A=O¯      B=O¯

تمرین

حاصل ضرب 20400012 به‌دست آورید. 

20400012=0000

خاصیت چهارم- در حالت کلی قانون حذف در ضرب ماتریس ها برقرار نمی‌باشد: 

AB=ACA0BC

تمرین

اگر A=1224 و B=2132 و C=2751 باشد، داریم:

AB=12242132=851610AC=12242751=851610AB=ACBC

خاصیت پنجم: توان های طبیعی ماتریس مربع

فرض کنید A یک ماتریس مربع است، در این‌صورت توان های طبیعی A به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

A1=AA2=AAA3=A2A        An+1=AnA

در صورتی‌که A یک ماتریس مربع مرتبه n باشد، آن‌گاه:

A0=In

In ماتریس واحد مرتبه n است.

دریافت مثال

خاصیت ششم- ضرب درونی یا داخلی

اگر R=r1r2r3...rn1×n یک ماتریس سطری و C=c1c2cnn×1 یک ماتریس ستونی باشد، ضرب داخلی (درونی) به‌صورتی مشابه با آن‌چه که قبلا در بردارها بیان شده به صورت زیر تعریف می‌شود:

R.C=r1r2r3...rn1×nc1c2cnn×1=r1c1+r2c2++rncn=i=1nrici

توجه داشته باشید که ضرب درونی فقط وقتی تعریف می‌شود که R شامل فقط یک سطر و C فقط شامل یک ستون باشد و ضرب درونی آنها یک عدد است.

تمرین

ضرب درونی یا داخلی بین دو ماتریس زیر را مشاهده می‌کنید:

420.2311×3=4×2+2×3+0×11×1=141×1=14

مثال‌ها و جواب‌ها

ضرب دو ماتریس

4,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید