سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

دترمینان (ویژگی‌ها)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 29 مرتبه

قضیه

دترمینان هر ماتریس مربع با دترمینان ماتریس ترانهاده اش مساوی است.

A'=A    ;    AA'0

اثبات

اگر A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33 یک ماتریس 3×3 باشد، آن‌گاه:

A=a11A11+a12A12+a13A13

اگر A'=a11a21a31a12a22a32a13a23a33 باشد و آن را بر حسب ستون اول بسط دهیم، همان نتیجه فوق حاصل می‌شود.

A=a11A'11+a12A'12+a13A'13=a11A11+a12A12+a13A13=AAA'=AA'A=A'AA'=AAAA'=A20

قضیه

هرگاه در یک دترمینان، جای دو سطر یا دو ستون را با یکدیگر عوض کنیم، تنها علامت دترمینان تغییر می‌کند.

A=abcd=adbcB=cdab=bcadA=B

A=abcd=adbcC=badc=bcadA=C

اثبات

A=a11a12a13a21a22a23a31a32a33B=a21a22a23a11a12a13a31a32a33

دترمینان A را حول سطر اول بسط می‌دهیم:

A=a11A11+a12A12+a13A13

دترمینان B را حول سطر دوم بسط می‌دهیم:

B=a11B21+a12B22+a13B23B2j=12+jM1j=11+jM1j=A1j

M1j ماتریس حاصل ضرب از حذف سطر اول و ستون jام ماتریس A است، پس:

B=A

قضیه

هرگاه در یک دترمینان یک سطر و یا یک ستون برابر صفر باشد، حاصل دترمینان صفر است:

A=ab00=a0b0=0B=c0a0=c0a0=0

اثبات

در یک ماتریس 3×3 فرض کنیم عناصر سطر iام برابر صفر باشند، مقدار دترمینان را با بسط حول سطر iام محاسبه می‌کنیم:  

A=0×Ai1+0×Ai2+0×Ai3=0

قضیه

هرگاه در یک دترمینان، دو سطر با هم مساوی یا یک سطر مضربی از سطر دیگر باشد، حاصل دترمینان صفر است و این خاصیت در مورد ستون‌ها هم برقرار است.

A=abab=abba=0B=abkakb=kabkab=0

A=aabb=abba=0B=kaakbb=kabkab=0

اثبات

فرض کنیم سطرهای iام و jام ماتریس A یکسان باشند، با تعویض جای این دو سطر، ماتریس B حاصل می‌شود که بنا به قضیه 2 داریم: 

A=B

از طرفی چون سطرهای iام و jام یکسان بودند، با جابه‌جایی آنها ماتریس A و B هم یکسان خواهند بود، یعنی: 

A=B

A=BA=B   B=BB+B=02B=0B=0A=0

قضیه

هرگاه در یک دترمینان، سطری را به سطر دیگری یا مضربی از یک سطر را به سطر دیگری اضافه یا کم کنیم، حاصل دترمینان تغییر نمی‌کند و این خاصیت در مورد ستون‌ها برقرار است.

اثبات

A=abcdA=adbcB=a±cb±dcd=a±cdb±dc=ad±cdbc±dc=adbcC=a±kcb±kdcd=a±kcdb±kdc=ad±kcdbc±kdc=adbcA=B=C

A=abcdA=adbcB=ab±acd±c=ad±ccb±a=ad±acbc±ca=adbcC=ab±kacd±kc=ad±kccb±ka=ad±kacbc±kca=adbcA=B=C

قضیه

اگر A و B و C سه ماتریس مربع مرتبه n باشند  به‌طوری که ستون jام C مساوی مجموع ستون jام A و B است و سایر ستون‌های سه ماتریس یکسان هستند. در این‌صورت:  

C=A+B

در مورد دترمینان های 3×3 داریم:

ma+xrnb+yspc+ztC=marnbspctA+mxrnyspztB

تعبیر دیگر این ویژگی آن است که یک دترمینان مانند C را می‌توان به‌صورت مجموع دو دترمینان به شکل فوق تجزیه کرد.این خاصیت در مورد سطرها هم برقرار است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

دترمینان (ویژگی‌ها)

1,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید