سرفصل‌های این مبحث

ماتریس

ماتریس متقارن و پاد متقارن

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 30 شهریور 1400
دسته‌بندی: ماتریس
امتیاز:
بازدید: 31 مرتبه

تعریف ماتریس متقارن

ماتریس مربع A را متقارن گویند، هرگاه A=A' باشد. 

  i,jN  ,  aij=ajiaij=a'ijA=A'

در هر ماتریس متقارن عضوهای ماتریس دو به دو نسبت به قطر اصلی با یکدیگر مساویند:

A=abcbdecef

نکته

1- هر ماتریس قطری مانند a000b000c و هر ماتریس اسکالر مانند a000a000a و هر ماتریس واحد مانند 100010001 همگی متقارن هستند.

2- مجموع و تفاضل دو ماتریس متقارن هم مرتبه ماتریسی متقارن است:

A±B'=A'±B'=A±B

3- حاصل ضرب یک عدد مخالف صفر در یک ماتریس متقارن، ماتریس متقارن است:

λA'=λA'=λA

4- اگر A  یک ماتریس m×n باشد، آن‌گاه A' یک ماتریس n×m است، بنابراین حاصل ضرب های AA' و A'A هر دو ماتریس مربع بوده و به‌ترتیب از مرتبه‌های m×m و n×n می‌باشند.

چنین حاصل ضرب هایی همواره ماتریس متقارن می‌باشند، زیرا:

AA''=A''A'=AA'A'A'=A'A''=A'A

تمرین

فرض کنیم A2×3=124305 باشد: 

A'A را به‌دست آورید. 

A'A=132045124305=1021124811841

AA' را به‌دست آورید. 

AA'=124305132045=21171734

آیا A'A و AA' متقارنند؟ 

همان‌طور که مشاهده می‌شود A'A و AA' هر دو متقارن می‌باشند. 

قضیه

اگر A و B دو ماتریس مربع هم مرتبه و متقارن باشند، شرط لازم و کافی برای آن‌که AB متقارن باشد آن است که  A و B تعویض پذیر باشند.

اثبات

فرض می‌کنیم AB متقارن باشد، ثابت می‌کنیم دو ماتریس تعویض پذیرند:   

AB'=B'A'=BAAB'=AB

از روابط بالا ثابت می‌شود که AB=BA یعنی دو ماتریس A و B تعویض پذیرند: 

AB'=B'A'=BAAB'=ABAB=BA

قضیه

اگر A و B دو ماتریس متقارن و تعویض پذیر باشند، AB متقارن است. 

اثبات

فرض آن است‌که: 

A=A'B=B'AB=BA

می‌خواهیم ثابت کنیم:

AB'=AB

AB'=B'A'=BA=AB

دریافت مثال

تعریف ماتریس پاد‌متقارن 

ماتریس مربع A را پادمتقارن گویند، هرگاه A=A' باشد.

i  ,  jN    ;    aij=ajiaij=a'ijA=A'A'=A

 در هر ماتریس پادمتقارن عضوهای روی قطر اصلی برابر صفر بوده و دیگر عضوهای ماتریس دو‌به‌دو نسبت به قطر اصلی قرینه یکدیگرند.

A=0aba0cbc0

نکته

1- مجموع و تفاضل دو ماتریس پادمتقارن هم مرتبه، ماتریسی است پادمتقارن:

A±B'=A'±B'=A±B=A±B

2- حاصل ضرب یک عدد مخالف صفر در یک ماتریس پادمتقارن، ماتریسی پادمتقارن است.

λA'=λA'=λA=λA

دریافت مثال

ویژگی‌های ماتریس متقارن و پادمتقارن

قضیه

ماتریس صفر تنها ماتریسی است که هم متقارن و هم پادمتقارن است.

اثبات

اگر A ماتریس متقارن باشد، آن‌گاه A'=A است.

اگر A ماتریس پادمتقارن باشد، آن‌گاه A'=-A است.

A'=AA'=A   A=AA+A=0¯2A=0¯A=0¯

قضیه

اگر A یک ماتریس مربع باشد، آن‌گاه A+A' متقارن و A-A' ماتریس پادمتقارن است.  

اثبات

A+A''=A'+A''=A'+A=A+A'

 A+A' ماتریس متقارن است.

AA''=A'A''=A'A=AA'

 A-A' ماتریس پادمتقارن است.

قضیه

هر ماتریس مربع را می‌توان به‌صورت حاصل جمع دو ماتریس نوشت که یکی متقارن و دیگری پادمتقارن باشد.

اثبات

A=12A+A'+12AA'

قضیه

اگر A و B دو ماتریس مربع هم مرتبه و پادمتقارن و تعویض پذیر باشد، آن‌گاه AB متقارن است.

اثبات

فرض آن است‌که: 

A'=AB'=B

می‌خواهیم ثابت کنیم:

AB=BA

AB'=B'A'AB'=BAAB'=BAAB'=AB

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

ماتریس متقارن و پادمتقارن

2,300تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید