اعداد اول (کاربردها)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 38 مرتبه

تابع حساب اویلر

اگر m عددی طبیعی باشد و به‌صورت زیر به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه شود:

m=p1α1.p2α2...pkαk

در این‌صورت تعداد اعداد طبیعی و کوچک‌تر از m که نسبت به m اول می‌باشند را با φ(m) نشان داده و از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

φ(m)=m11p111p2...11pk

به φ(m) تابع حسابی اویلر گفته می‌شود. 

تمرین

تعداد اعداد طبیعی و کوچک‌تر  از 84 که نسبت به آن اول می‌باشند را محاسبه کنید.

84=22×3×7φ84=84112113117=24

مربع کامل یک عدد طبیعی 

اگر m عددی طبیعی باشد و به‌صورت زیر به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه شود:

m=p1α1.p2α2...pkαk

در این‌صورت شرط لازم و کافی برای آن‌که m مربع کامل باشد آن است که همه αi ها اعداد طبیعی زوج باشند.

اگر در تجزیه یک عدد به عامل‌های اول، حداقل یکی از توان های موجود در تجزیه، عددی فرد باشد آن عدد نمی‌تواند مربع کامل باشد.

به‌عنوان نمونه عدد 36=22×32 مربع کامل است اما عدد 48=24×31  مربع کامل نیست. 

تمرین

کوچک‌ترین عدد طبیعی را تعیین ‌کنید که چون در 840 ضرب شود، حاصل مربع کامل شود.

840=23×51×71×31


عدد 840 بایستی در 7  ,  5  ,  3  ,  2 ضرب شود تا توان تمام عوامل، زوج گردد. در نتیجه کوچک‌ترین عدد عبارت است از:

2×3×5×7=210

تمرین

نشان ‌دهید هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از 1 را می‌توان به‌صورت حاصل ضرب یک مربع کامل و یک عدد صحیح بدون عامل مربع بجز 1 نوشت.

فرض کنید تجزیه عدد n به حاصل ضرب عوامل اول به‌صورت زیر باشد:

n=p1α1p2α2...pnαn.q1β1...qmβm


که در آن αi ها زوج و βi ها فرد باشد، در این‌صورت عدد n را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

n=p1α1p2α2...pnαn.q1β11q2β21...qmβm1q1q2...qm


عبارت داخل پرانتز مربع کامل بوده و q1q2...qm بر هیچ عدد مربعی کاملی به جز 1 بخش پذیر نیست.

تعداد مقسوم علیه‌های مثبت عدد طبیعی

اگر m عددی طبیعی باشد و به‌صورت زیر به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه شود:

m=p1α1.p2α2...pkαk

تعداد مقسوم علیه‌های مثبت m را با Tm نمایش داده و از دستور زیر محاسبه می‌کنیم:

T(m)=(α1+1)(α2+1)...(αk+1)

توجه کنید که هر عدد به‌اندازی تعداد مقسوم علیه‌های مثبت، مقسوم علیه‌های منفی دارد، بنابراین تعداد کل مقسوم علیه‌های (مثبت و منفی) عدد m برابر است با 2Tm 

تمرین

تعداد کل مقسوم علیه‌های اعداد زیر را محاسبه کنید.

36

36=22×32T(36)=2+12+1=92T36=18

48

48=24×31T(48)=4+11+1=102T48=20

1400

1400=23×52×71T1400=3+12+11+1=4×3×2=242T1400=48

تمرین

تعداد مقسوم علیه‌های مشترک و مثبت دو عدد زیر بیابید:

a=23×52×74b=37×54×73×11

d=(a,b)=52×73T(d)=2+13+1=12

عدد n=22α×5β دارای 14 مقسوم علیه مثبت است، α را به‌دست آورید. 

n=22α×5βTn=2α+1β+1=14=2×72α+1=7α=3β+1=2β=1

نکته

1- اگر عددی مربع کامل باشد، همواره تعداد مقسوم علیه‌ها ی مثبت آن عددی فرد است، در این حالت همه αi+1 ها فرد است.

2- اگر عددی مربع کامل نباشد، تعداد مقسوم علیه‌های مثبت آن عددی زوج است در این حالت حداقل یکی از αi+1 ها زوج است. 

حاصل ضرب مقسوم علیه‌های مثبت یک عدد 

اگر Tm تعداد مقسوم علیه‌های مثبت m به‌صورت زیر محاسبه می‌شد:

T(m)=(α1+1)(α2+1)...(αk+1)

در این‌صورت حاصل ضرب مقسوم علیه‌های مثبت m از رابطه زیر به‌دست می‌آید:

mTm2

تمرین

حاصل ضرب مقسوم علیه‌های مثبت عدد 36 را به‌دست آورید. 

36=22×32

T36=2+12+1=9


حاصل ضرب مقسوم علیه‌های مثبت برابر است با:

m Tm2=36 92=369=22×329=629=69

مجموع  مقسوم علیه‌های یک عدد صحیح

فرض کنید n یک عدد صحیح و مثبت است، مجموع مقسوم علیه‌های n را با σ(n) نشان می‌دهیم و داریم:

فرض کنید p عددی اول و a عدد صحیحی و مثبت باشد، در این‌صورت مجموع مقسوم علیه‌های pa از فرمول زیر به‌دست می‌آید:

σpa=1+p+p2+...+pa=pa+11p1

مقسوم علیه‌های pa عبارتند از pa,...,p2,p,1 که با توجه به فرمول دنباله هندسی به‌دست آمده است.

تمرین

مجموع مقسوم علیه‌های مثبت اعداد زیر را محاسبه کنید.

n=200

200=23×52  σ200=σ23×52=σ23.σ52=24121.53151=15×31=465

n=28

28=22×7σ28=σ22.7=σ22.σ7=23121.72171=7×8=56

نکته

1- تابع σ تابعی ضربی است یعنی: 

if   (n,m)=1σ(mn)=σmσ(n)


2- به‌طور کلی فرض کنید n عدد صحیحی و مثبت است که تجزیه استاندارد آن به‌صورت زیر باشد:

n=p1a1.p2a2...pSaS

مجموع مقسوم علیه‌های مثبت n از دستور زیر به‌دست می‌آید.

σn=p1a1+11p11.p2a2+11p21....psqS+11ps1


3- اگر n عدد صحیح و مثبتی باشد و σ(n)=2n در این‌صورت n را عدد کامل گویند. به‌عنوان نمونه عدد 6 کامل است زیرا δ6=2×6=12 

تعداد حالات یک عدد طبیعی به حاصل ضرب دو عدد

 اگر m عددی طبیعی باشد و به‌صورت زیر به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه شود:

m=p1α1.p2α2...pkαk

تعداد حالت‌هایی که می‌توانیم m را به‌صورت حاصل ضرب دو عدد که نسبت به‌هم اول باشند، بنویسیم برابر است با:

S(m)=2k1

تمرین

تعداد حالاتی را که می‌توانیم عدد 84 را به حاصل ضرب دو عدد تجزیه کنیم که آن دو عدد نسبت به‌هم اول باشند را بیابید.

84=22×3×7S84=231=22=4


این چهار حالت به‌صورت زیر است:

84=4×2184=12×784=1×8484=3×28

تعداد عوامل عدد اولpدرn!

اگر n عددی طبیعی باشد، تعداد عوامل عدد اول p در n! از دستور زیر به‌دست می‌آید:

D(p)=np+np2++0+0+

نماد  جزء‌صحیح بوده و چون صورت کسرها ثابت و مخرج در حال رشد است، از مرتبه‌ای به بعد، کسر داخل جزء‌صحیح، بین 0 و 1 قرار گرفته و حاصل جزء‌صحیح آن صفر خواهد شد.

نکته

از آنجا که در حاصل ضرب اعداد طبیعی درهم، هر عدد 2 و عدد 5 یک عامل 10 و در نتیجه یک صفر در جلوی عدد حاصل ایجاد می‌کند، تعداد صفرهای سمت راست n! برابر است با تعداد 2 و 5 های موجود در n! که در واقع برابر است با تعداد عامل های 5 در n! زیرا عدد 2  بیش‌تر از 5 در n! وجود دارد.   

تمرین

تعداد عامل عدد اول 5 در 50! را به‌دست آورید.

D5=505+5025+50125+0++0=10+2+0+=12


با توجه به‌نکات گفته شده، جلوی عدد 50! به تعداد 12 تا صفر وجود دارد.  

در عدد 43! تعداد عامل 6 را به‌دست آورید.

هر دو عدد 2 و 3 یک عامل 6 ایجاد می‌کنند و چون تعداد عوامل 3 کمتر است پس تعداد عوامل 6 در n! با تعداد عوامل 3 در n! برابر است و داریم:

D3=433+439+4327=14+4+1=19

تعداد عوامل 7 در 50! را به‌دست آورید. 

D(7)=[507]+[5072]=7+1=8

بزرگ‌ترین توانی از 3 که 50! را می‌شمارد، به‌دست آورید. 

نخست تعداد مضارب 3 در مجموع 50,.....,2,1 را پیدا می‌کنیم.


این تعداد برابر است با 503 و برخی مضرب 9 هستند لذا عامل 32 را دارند و ...

503+509+5027=16+5+1=22

عدد 10! را به عوامل اول تجزیه کنید.

10!=2α1×3α2×5α3×7α4


برای محاسبه α4,  α3,  α2,α1 به‌صورت زیرعمل می‌کنیم:

α1=[102]+[104]+[108]+[1016]+..=5+2+1=8α2=[103]+[109]=3+1=4α3=[105]=2α4=[107]=110!=28.34.52.7

عدد 47! به چند صفر ختم می‌شود؟

تعداد صفرهای واقع در سمت راست هرعدد، برابر با تعداد عوامل 5 در آن عدد است.

475+4725=9+1=10

برای ارسال نظر وارد سایت شوید