هم‌ نهشتی (معادلات)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 03 شهریور 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 27 مرتبه

هر معادله به‌صورت axmb را معادله هم‌نهشتی خطی گویند.

منظور از یک جواب معادله، عدد صحیحی است مانند x0 است به‌طوری‌که ax0mb باشد.

مرسوم است که هر دو جواب هم‌نهشت این معادله را مساوی گویند هر چند مساوی به معنای معمولی آن نباشد.

به‌عنوان نمونه داریم:

x=3x=9 هر دو جواب معادله 3x129 می‌باشد و به عبارت دیگر منظور از تعداد جواب‌های معادله axmb جواب‌های هم‌نهشت معادله است. 

در ارتباط با معادله axmb به سه سوال اساسی زیر باید پاسخ داد:

سوال اول- در چه صورت معادله axmb جواب دارد؟

جواب این سوال توسط قضیه زیر داده می‌شود:  

قضیه

معادله axmb دارای جواب است اگر و تنها اگر: 

a,mb

که در آن a,m بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک بین دو عدد a و m می‌باشد. 

اثبات

با توجه به تعریف هم‌نهشتی داریم:

axmbax=mk+baxmk=b

بنابراین معادله axmb جواب دارد هرگاه معادله axmk=b دارای جواب باشد.

اما این معادله وقتی جواب دارد که a,mb.  

تمرین

کدام‌یک از معادلات هم‌نهشتی زیر جواب دارد؟

9x1125

9,12=3    ;    315


معادله هم‌نهشتی فوق جواب دارد.

8x143

8,14=2     ;  2|3


معادله هم‌نهشتی فوق جواب ندارد.

سوال دوم- معادله axmb چند جواب دارد؟ 

برای این‌که مشخص کنیم معادله چند جواب دارد، دو قضیه زیر را خواهیم داشت:

قضیه

اگر a,m=1 باشد، در این‌صورت معادله axmb فقط یک جواب دارد. 

اثبات

فرض کنید x1 و x2 دو جواب معادله axmb باشند، در زیر داریم: 

ax1mbax2mbax1max2 ; a,m=1x1mx2

قضیه

اگر a,m=d باشد، به‌طوری‌که db، در این‌صورت معادله axmb دارای d جواب دوبه‌دو نا‌هم‌نشهت به پیمانه m است.  

سوال سوم- چگونه می‌توان معادله را حل کرد؟ 

عملا برای به‌دست آوردن d جواب معادله axmb به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

a,m=d  ,  dba=a1db=b1dm=m1da1dxm1db1da1xm1b1

چون a,m1=1 بنابراین معادله a1xmb1 دارای یک جواب مانند x0 است. 

در این‌صورت کلیه جواب‌های معادله عباتند از:

x0  ,  x0+md  ,  x0+2md  ,  ....  ,  x0+d1md

تمرین

معادله هم‌نهشتی زیر را حل کنید:

4x2012

4,20=4


بنابراین معادله دارای چهار جواب است:

4x20124x4204204x53x=5k+3    ;    k=0,1,2,3x=3,8,13,18

روش‌های حل معادله هم‌نهشتی

روش تبدیل معادله هم‌نهشتی به معادله سیال

معادله هم‌نهشتی axmb را می‌توان به‌صورت سیال ax+my=b نوشت و شرط این‌که این معادله در  دارای جواب باشد آن است که a,mb.

axmbaxb=mkaxmk=b    ;    k=yax+my=b

دریافت مثال

حل معادله هم‌نهشتی با استفاده از خواص آن

با توجه به مفاهیم هم‌نهشتی:

a,m=d1if  axmabadxmdadbambamb+km

دریافت مثال

حل معادله هم‌نهشتی با قضیه اولر و فرما

قبلا دیدیم که برای حل هر معادله هم‌نهشتی خطی، کافی است معادلات از نوع axmb را در حالتی که a,m=1 باشد را بررسی کنیم.

در این حالت چون a,m=1 است، بنابراین a وارون پذیر است:

axmbaa1xma1bxma1b

تمرین

معادله هم‌نهشتی زیر را حل کنید:

5x73

5x735×51x73×51    ;    5×37151=31x73×3x72

نکته

مسئله یافتن وارون عدد صحیحی مانند a معادل است با حل معادله axm1 که چندان تفاوتی با حل معادله axmb ندارد اما با توجه به قضیه فرما یا اولر می‌توان وارون هر عدد صحیح را در صورت وجود به‌دست آورد. 

بنابر قضیه اولر:

اگر m یک عدد طبیعی و a عدد صحیح باشد، به‌طوری‌که a,m=1 در این‌صورت:

aφmm1a×aφm1m1a1=aφm1φm=m11p111p2......11pk

تمرین

وارون 5 را به پیمانه 8 به‌دست آورید.

a=5m=8a1=aφm151=5φ81=5φ231=5231121=53

قضیه

اگر (a,m)=1 در این‌صورت معادله axmb دارای جواب منحصر به‌فردی به‌صورت xmaφm1×b است. 

دریافت مثال

حل معادله هم‌نهشتیaxpb

رفتار معادله axpb در حالتی‌که p اول است، درست مانند ax=b در مجموعه اعداد حقیقی است،

حالت اول-

ap0  ,  bp0

در این‌صورت pa  ,  p|b و معادله جواب ندارد.

به‌عنوان نمونه معادله 12x38 جواب ندارد.

حالت دوم-

ap0  ,  bp0

در این‌صورت تمام اعداد صحیح p1,.....1,0 جواب‌های معادله axpb می‌باشند. 

به‌عنوان نمونه معادله 14x721 که دارای جواب‌های 6,5,4,3,2,1,0 است.

حالت سوم- 

a0p  ,  a,p=1ap1p1xpap2×b

تمرین

معادله هم‌نهشتی زیر را حل کنید.

2x117

2x117x1129×7


25=132+025111291124×1291116+2×1129116


291162x117x1129×7x116×7x119x=11k+9k=0x=9

حل معادله هم‌نهشتی با دسته کامل مانده‌ها

جواب‌های هر معادله axmb را از میان 0,1,2,....,m1 باید جستجو کرد.

به‌عنوان نمونه جواب‌های معادله 2x53 را از میان 0,1,2,4 باید جستجو کرد، که x54 جواب معادله است.

توجه کنید که این روش برای پیمانه‌های بزرگ چندان قابل استفاده نیست.

پس مطالب فوق را به‌صورت زیر کامل  می‌کنیم:

تعریف-

اگر x0=t یک جواب برای معادله هم‌نهشتی axmb باشد، ثابت می‌شود که هر عضو از دسته هم‌نهشتی t به پیمانه m نیز در معادله صدق می‌کند، یعنی دو عضو مجموعه زیر در معادله صدق می‌کند:

.....  ,  t2m  ,  tm  ,  t  ,  t+m  ,  t+2m  ,  .....

فرض کنیم t در معادله صدق می‌کند یعنی atmb ثابت می‌کنیم t+km نیز در معادله صادق است:

at+km=at+akmmb+0=b    ;    atmb

بنابراین از تذکر فوق می‌توان برای حل معادلات هم‌نهشتی که پیمانه آنها خیلی بزرگ نباشد، استفاده کرد و با امتحان کردن اعداد 0,1,2,....,m1  در معادله، جواب‌های معادله را به‌دست آورد.

تمرین

معادله هم‌نهشتی زیر را حل کنید.

9x57

d=9,5=1    ;    17


معادله جواب دارد.


این جواب‌ها در یکی از دسته‌های هم‌نهشتی 0 یا 1 یا 2 یا 3 یا 4 است که کافی است از هر دسته یک عدد را در معادله قرار دهیم و امتحان کنیم، در این‌صورت مشاهده می‌شود که فقط x=3 در این معادله صادق است زیرا:

9×352757


جواب‌های معادله همه اعضای کلاس هم‌نهشتی 33 می‌باشند که مجموعه این اعداد را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

3=xZx53=xZx=5k+3

حل دستگا‌ه‌های معادلات هم‌نهشتی خطی

در این قسمت می‌خواهیم دستگاه‌های معادلات هم‌نهشتی خطی n معادله n مجهول خطی را که تمام هم‌نهشتی‌ها، پیمانه یکسانی دارند را مورد بررسی قرار دهیم. 

برای ارائه روشی کلی در مورد حل دستگاه‌های معادلات هم‌نهشتی خطی به تعاریف زیر نیاز داریم.

تعریف-

فرض کنید A=aijm×n و B=bijm×n ماتریس‌هایی با درایه‌های صحیح باشند، گوییم A با B به پیمانه m هم‌نهشت است، هرگاه:

i,j    ;    1jn  ,  1in  ,  aijmbijAmB

تعریف-

اگر A و A-1 ماتریس‌های n×n با درایه‌های صحیح باشند به‌طوری‌که A1AmΙ ، در این‌صورت A-1 را وارون A به پیمانه m گویند:

if  AmabcdA1m1adbcdcba

دریافت مثال

معادلات هم‌نهشتی غیرخطی

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

هم‌نهشتی (معادلات)

3,000تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید