ک‌ م‌ م (تعریف و قضایا)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 36 مرتبه

مضرب مشترک دو عدد

عدد صحیح m را مضرب مشترک دو عدد a و b می‌نامیم، درصورتی‌که دو عدد a و b عدد صحیح m را بشمارد یعنی a|m و b|m یا به‌عبارتی m مضرب هر دو عدد a و b باشد.

به‌عنوان نمونه عدد 8 مضرب مشترک دو عدد 2 و -4 است زیرا 28 و 48.

کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد

دو عدد 8 و 12 را در نظر می‌گیریم:

مجموعه‌های A و B به‌ترتیب مجموعه مضارب مثبت دو عدد 8 و 12 است:

A=8,16,24,32,40,48,56,64,72,...B=12,24,36,48,60,72,84,...

اشتراک دو مجموعه فوق یعنی مجموعه مضارب مثبت مشترک دو عدد به‌صورت زیر است:

AB=24,48,72,...

کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد 8 و 12 کوچک‌ترین عضو مجموعه AB یعنی 24 است. 

کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد a و b کوچک‌ترین عدد طبیعی است که هم بر a و هم بر b بخش‌‌پذیر باشد. 

تعریف- اگر  a و b دو عدد صحیح دل‌خواه و ناصفری باشند، در این‌صورت کوچک‌ترین مضرب مشترک (ک‌م‌م) دو عدد a و b عددی طبیعی مانند c است و با نماد c=a,b نشان می‌دهند به‌طوری‌که:

c=a,b1       ac  ,  bc2        m>0    ;    am  ,  bmcm

به‌عنوان نمونه داریم:

18,72=723,6=61,4=42,3=64,6=1212,8=24

نکته

1- اگر مجموعه همه مضرب های مشترک و مثبت دو عدد صحیح و نا‌صفر a و b را A بنامیم، یعنی فرض کنیم:

A=m>0  am  ,  bm

واضح است که ANA زیرا:

abA  ,  bab  ,  aab

بنابراین طبق اصل خوش‌ترتیب، مجموعه A دارای عضو ابتدا است که این عضو ابتدا، همان ک‌م‌م است.

2- در کاربرد عملی برای محاسبه ک‌م‌م دو عدد، با استفاده از تجزیه آن دو عدد، کافی است تمام عامل های مشترک و غیر مشترک در تجزیه را با بزرگ‌ترین توان در نظر گرفته و در هم ضرب کنیم.

a=p1α1p2α2...pkαkb=p1β1p2β2....pkβka,b=p1θ1p2θ2...pkθk    ;    θi=maxαi,βi

تمرین

ک‌م‌م اعداد زیر را محاسبه کنید:

a=22×3×5×72b=3×52×11

a,b=22×3×52×11×72

تمرین

نشان دهید اگر دو عدد 24 و 18 عدد m را عاد کند، در این‌صورت عدد 72 همواره m را عاد می‌کند. 

24m  ,18m  24,18m24=23×318=2×3224,18=23×32=8×9=7272m

قضایای کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد

قضیه

a,bZ  ,  a  ,  b0    ;    if   aba,b=b

اثبات

باید ثابت کنیم bهر دو شرط ک‌م‌م را دارد:

1       ab  ,  bb

b یک مضرب مشترک برای a و b است.

abababbbbbbb


2      m>0   ;  am  ,  bm  bm

یعنی b از مضرب مشترک a و b کوچک‌تر است:  

bmbmm>0bm

قضیه

  a,bZ :  a,b0   ;    f   a,b=c  ,  am  ,  bmcm

اثبات

m را بر c تقسیم می‌کنیم ، بنا بر قضیه تقسیم، اعداد صحیح q و r یافت می‌شود به‌قسمی‌که:

m=cq+r    ;     0r<c

ثابت می‌کنیم که r=0 است.

اثبات از طریق برهان خلف می‌باشد، فرض کنیم r>0 باشد، داریم:

m=cq+rr=mcq

a,b=cac  ,bcamacacq     amcqarbmbcbcq     bmcqbrar,  br   ;    r>0

بنا به شرط دوم ک‌م‌م، rc است و خلاف فرض 0r<c یعنی حتما r=0 است:

if  r=0m=cqcm

قضیه

a,bZ   :   a,b0    ;      a,a,b=a,a,b=a

اثبات

فرض می‌کنیم که:

a,b=d  ,  a,b=c

می‌خواهیم ثابت کنیم:

a,c=a,d=a

if    da  a,d=aif   aca,c=aa,d=a,c=aa,a,b=a,a,b=a

قضیه

a,bZ  ,  kN   :     a,b0   ;     a,b=cka,kb=kc

اثبات

ثابت می‌کنیم:

if    a,b=cka,kb=kc

طبق قضیه حساب استدلالی، داریم:

a,b=aba,bc=aba,bkc=kaba,bkc=k2abka,bkc=ka.kbka,bkc=ka×kbka,kb     ;   ka×kbka,kb=ka,kbkc=ka,kb


ثابت می‌کنیم:

if    ka,kb=kca,b=c


ka,kb=kcka×kbka,kb=kcka×kbka,b=kca×ba,b=ca,b=c

قضیه

a,bZ   :   a,b0    ;   if   a,b=1   ,   am  ,   bm  abm

اثبات

ambma,bm

طبق قضیه حساب استدلالی، داریم:

a,ba,b=aba,b=ab    ;    a,b=1aba,b        ;    a,bmabm

قضیه

a,bZ    :   a,b0     ;    if  a,b=d  ,  a,b=ca+b,c=d

اثبات

طبق قضیه حساب استدلالی، داریم:

a,b=dad,bd=1a+bd,abd2=1da+bd,abd2=da+b,abd=d    ;    abd=ca+b,c=d

قبلا ثابت کردیم که اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، حاصل جمع و حاصل ضرب آن دو عدد نسبت به هم، اول خواهند بود.

قضیه

a,bZ   :   a,b0    ;    if    a,b=can,bn=cn

اثبات

طبق قضیه حساب استدلالی، داریم:

an,bn=anbnan,bn=abndn=abdn=cn

روش پواسون برای تعیین ک‌م‌م

دو عدد A=12B=10 را با شرط A>B در نظر می‌گیریم.

می‌خواهیم کوچک‌ترین مضرب مشترک این دو عدد را محاسبه کنیم.

حالت اول) اگر A=12 بر B=10 بخش پذیر باشد، در این‌صورت واضح است که A=12 کوچک‌ترین مضرب مشترک بین A و B خواهد بود، زیرا A کوچک‌ترین عدد بین مضرب های A می‌باشد.

حالت دوم) اگر A=12 بر B=10 بخش پذیر نباشد، مضرب های پشت سرهم A را تنظیم می‌کنیم تا آنجا که برای اولین بار به عددی برسیم که بر B هم بخش پذیر باشد.

این عدد کوچک‌ترین مضرب مشترک خواهد بود، زیرا کوچک‌ترین مضربی از A است که بر B هم بخش پذیر است:

A2A3A4A5A122×123×124×125×12

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید 5A=5×12 بر B=10 بخش پذیر است، پس کوچک‌ترین مضرب مشترک دو عدد A=12B=10 عدد 60 است. 

حال بحث را ادامه می‌دهیم:

مضرب های پشت سرهم A را که از خود A شروع می‌شود، روی یک سطر می‌نویسیم:

A2A3A4A5A122×123×124×125×126A6×12.........

روی سطر دیگر، باقیمانده های تقسیم اعداد فوق بر B را می‌نویسیم:

r1 r2  r3  r4  r5  r6...    ...24 6 8 0 2...

تمام عددهای سطر دوم از B کوچک‌تر هستند:

10>2,4,6,  8,  0  ,  2  ,  ...

بنابراین به‌ناچار زمانی خواهد رسید که باقیمانده، مساوی یکی از باقیمانده های قبلی باشد.

نشان می‌دهیم کرد که قبل از این حادثه، باید به باقیمانده صفر رسیده باشیم:

فرض می‌کنیم دو عدد صحیح m=1n=6 وجود داشته باشند، به‌طوری‌که داشته باشیم:

mA=m'B+r     ;     1×12=1×10+2      nA=n'B+r       ;    6×12=7×10+2                 

دو طرف روابط فوق را نظیربه‌نظیر از هم کم کنیم، خواهیم داشت:

nmA=n'm'B    ;    6112=71×10

و این به آن معنا است که nmA=60 بر B=10 بخش پذیر است، بنابراین قبل از آن‌که در رشته‌ای باقیمانده ای مساوی یکی از باقیمانده های قبلی به‌دست آید، به باقیمانده صفر می‌رسیم.

از این‌جا این نتیجه به‌دست می‌آید که تمام باقیمانده هایی که قبل از باقیمانده مساوی صفر قرار گرفته‌اند با هم فرق دارند.  

برای ارسال نظر وارد سایت شوید