هم‌ نهشتی (آزمون‌ های بخش‌ پذیری)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 42 مرتبه

اگر A عددی n رقمی باشد، آن را به‌صورت زیر نمایش می‌دهیم:

A=an1an2...a2a1a0¯

بسط عدد A در مبنای 10 به شکل‌های زیر است:

A=100a0+101a1+102a2++10n2an2+10n1an1A=a0+10an1an2...a2a1¯A=a1a0¯+102an1an2...a2¯

به‌عنوان نمونه داریم:

875042=100×2+101×4+102×0+103×5+104×7+105×8875042=2+1087504875042=42+1008750

یکی از کاربردهای جالب هم‌نهشتی، ارائه معیارهایی است برای یافتن قاعده تقسیم بر اعداد صحیح.

آزمون تقسیم عددAبر10,5,2 

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1....a1a0¯A=100a0+101a1+.....+10nan

اثبات

1105,21a0105,2a0101105,2010a1105,20                                                   10n105,2010nan105,20

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

100a0+101a1++10nan105,2a0+0++0A105,2a0

برای تعیین باقیمانده تقسیم یک عدد بر 10,5,2 می‌توان باقیمانده رقم یکان آن را بر 10,5,2 به‌دست آورد. 

دریافت مثال

آزمون تقسیم عددAبر9,3 

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1....a1a0¯A=100a0+101a1+.....+10nan

اثبات

1  9,31  a09,3a0109,3110a19,3a1                                      10n9,3110nan9,3an

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

100a0+101a1++10nan9,3a0+a1++anA9,3a0+a1++an

برای تعیین باقیمانده تقسیم یک عدد بر 9,3 می‌توان باقیمانده تقسیم مجموع ارقام آن عدد بر 9,3 به‌دست آورد.   

دریافت مثال

آزمون تقسیم عددAبر4 

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1......a2a1a0¯A=1000a1a0¯+1001a3a2¯+1002a5a4¯+

اثبات

141a1a0¯×14a1a0¯×1a1a0¯4a1a0¯10040100a3a2¯4a3a2¯×0100a3a2¯401002401002a5a4¯4a5a4¯×0     1002a5a4¯40                                                           

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

1000a1a0¯+1001a3a2¯+1002a5a4¯+4a1a0¯+0+0+A4a1a0¯

برای تعیین باقیمانده تقسیم یک عدد بر 4 باقیمانده تقسیم دو رقم سمت راست آن عدد بر 4 به‌دست می‌آوریم:  

a1a0¯=a0+10a14a0+2a1

بنابراین می‌توان گفت:

باقیمانده تقسیم هر عدد بر 4 مساوی با باقیمانده تقسیم رقم یکان به‌علاوه دو برابر رقم دهگان آن عدد بر 4 می‌باشد.

دریافت مثال

آزمون تقسیم عددAبر8 

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1......a2a1a0¯A=a2a1a0¯10000+a5a4a3¯10001+a8a7a6¯10002+

اثبات

181a2a1a0¯8a2a1a0¯1000801000×a5a4a3¯80100028010002a8a7a6¯80                             

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

A=a2a1a0¯10000+a5a4a3¯10001+a8a7a6¯10002+8a2a1a0¯+0+0+A8a2a1a0¯

برای تعیین باقیمانده تقسیم یک عدد بر 8 باقیمانده تقسیم سه رقم سمت راست آن عدد بر 8 به‌دست می‌آوریم:  

a2a1a0¯=a0+10a1+100a28a0+2a1+4a2

بنابراین می‌توان گفت:

باقیمانده تقسیم هر عدد بر 8 مساوی است با باقیمانده تقسیم مجموع 4 برابر رقم صدگان و 2 برابر رقم دهگان و رقم یکان آن عدد بر 8 است.

دریافت مثال

آزمون تقسیم عددAبر6

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1....a1a0¯A=100a0+101a1+.....+10nan

اثبات

1  61a06a0106410a164a110264102a264a2                      10n6410nan64an

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

A=100a0+10a1+102a2++10nan6a0+4a1+4a2++4anA6a0+4a1+a2++an

توجه کنید که برای هر عدد طبیعی n به‌استقرای رباضی ثابت می‌شود که 10n64

دریافت مثال

آزمون تقسیم عددAبر13,7 

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1.....a2a1a0¯A=10000a2a1a0¯+10001a5a4a3¯+10002a8a7a6¯+

اثبات

17131a2a1a0¯713a2a1a0¯

1000713110001a5a4a3¯7131a5a4a3¯

100027131210002a8a7a6¯71312a8a7a6¯10002a8a7a6¯713a8a7a6¯                                                                                                                                                              

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

A=10000a2a1a0¯+10001a5a4a3¯+10002a8a7a6¯+713a2a1a0¯a5a4a3¯+a8a7a6¯A713a2a1a0¯a5a4a3¯+a8a7a6¯

دریافت مثال

آزمون تقسیم عددAبر11 

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1....a1a0¯A=100a0+101a1+.....+10nan

اثبات

1111a011a01011110a11111a1102111102a211a2                                  10n111n10nan111nan

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

A=a0+10a1+102a2++10nan11a0a1+a2+1nanA11a0a1+a21nan

دریافت مثال

آزمون تقسیم عددAبر37,27 

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1.....a2a1a0¯A=10000a2a1a0¯+10001a5a4a3¯+10002a8a7a6¯+

اثبات

1372711×a2a1a037271×a2a1a01000372711000a5a4a33727a5a4a31000237271210002a8a7a63727a8a7a6                                              

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

A=10000a2a1a0¯+10001a5a4a3¯+10002a8a7a6¯+3727a2a1a0+a5a4a3+a8a7a6+A3727a2a1a0+a5a4a3+a8a7a6+

دریافت مثال

آزمون تقسیم عددAبر33 

عدد A را به‌صورت زیر در نظر بگیرید:

A=anan1......a2a1a0¯A=1000a1a0¯+1001a3a2¯+1002a5a4¯+

اثبات

1331a1a0¯33a1a0¯1003311001a3a2¯33a3a2¯10023311002a5a433a5a4¯                         

طرفین هم‌نهشتی‌های فوق را با هم جمع می‌کنیم:

A=1000a1a0¯+1001a3a2¯+1002a5a4¯+33a1a0¯+a3a2¯+a5a4¯+

نکته

1- رقم یکان عدد مربع کامل یکی از رقم‌های 9,4,6,5,1,0 می‌باشد.

یادآوری می‌کنیم عددی مربع کامل است، هر گاه آن را به عوامل اول تجزیه نماییم همه توان‌های عوامل اول زوج باشد.

دریافت مثال

نکته

2- رقم یکان an در صورتی‌که n مضرب زوجی از 2 باشد، یکی از رقم‌های 0,1,5,6 می‌باشد و در صورتی‌که n مضرب فردی از 2 باشد، یکی از رقم‌های 0,1,5,6,4,9 می‌باشد. 


3- 
رقم یکان توان پنجم هر عدد با رقم یکان آن عدد برابر است.

به‌عنوان نمونه داریم:

رقم یکان عدد 13785 عدد 8 است.


4- می‌دانیم حاصل ضرب دو عدد متوالی، همواره بر 2 پذیر است یعنی:

2|nn+1

لازم به‌ذکر است که حاصل ضرب دو عدد متوالی به یکی از رقم‌های 0,2,6 ختم می‌شود.

به‌عنوان نمونه داریم:

14×15=21013×14=18227×28=756


5- حاصل ضرب سه عدد متوالی همواره بر 2,3,6 بخش پذیر است یعنی:

6|n1nn+1


6- حاصل ضرب چهار عدد متوالی همواره بر 24 بخش پذیر است و اگر یک واحد به آن اضافه شود، حاصل عددی مربع کامل است.


7- هر عدد زوج به‌صورت 2k و هر عدد فرد به‌صورت 2k±1 و 4k+1 یا 4k+3 نشان داده شده و مربع هر عدد فرد مضربی از هشت به‌علاوه یک است. 

دریافت مثال

نکته

8- هر عدد مضرب 3 به‌صورت 3k بوده و اگر مضرب 3 نباشد به یکی از صورت‌های 3k+1 یا 3k-1 نشان داده می‌شود چون 231


9- 
هر عدد مضرب 5 به‌صورت 5k بوده و اگر مضرب 5 نباشد به یکی از صورت‌های 5k±1 یا 5k±2 نشان داده می‌شود.   


10- 
هرگاه a و b دو عدد اول باشند، داریم:

ab1+ba11ab0

به‌عنوان نمونه داریم:

1712+1316113×170


11- هر عدد طبیعی فرد که به‌توان یک عدد طبیعی زوج برسد، باقیمانده تقسیم آن بر اعداد 2,4,8 با هم برابر مساوی 1 است.


12- هر عدد طبیعی فرد که به‌توان یک عدد طبیعی فرد برسد، باقیمانده تقسیم آن بر اعداد 2,4,8 با باقیمانده تقسیم پایه آن عدد بر اعداد فوق برابر است، به‌عبارتی: 

a=2k+1an84,2a   ;    a,nΝ


13- هر عدد طبیعی زوج که به‌توان یک عدد طبیعی بزرگ‌تر از 2 برسد، باقیمانده تقسیم آن بر اعداد 2,4,8 با هم برابر و مساوی صفر است. 


14- هر عدد طبیعی که مربع کامل باشد، رقم یکان آن نمی‌تواند از ارقام 2,3,7,8 باشد.


15- هر عدد صحیح به هر توان طبیعی که برسد، اگر زوج باشد زوج و اگر فرد باشد فرد است.

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

هم‌نهشتی (آزمون‌های بخش‌پذیری)

3,500تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید