قضیه اساسی حساب استدلالی

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 35 مرتبه

قضیه

حاصل ضرب کوچک‌ترین مضرب مشترک در بزرگترین شمارنده مشترک هر دو عدد صحیح a و b با قدرمطلق حاصل ضرب آن دو عدد مساوی است.  

a,ba,b=ab

اثبات

روش اول-

فرض آن است که:

a,b=ca,b=dad  ,bd=1a'=ada=a'db'=bdb=b'd

می‌خواهیم ثابت کنیم:

c.d=a.bc=a.bd

بی‌آن‌که در کلیت مسئله خللی وارد شود، می‌توان فرض کرد a و b دو عدد طبیعی‌اند و از قدرمطلق صرف نظر می‌کنیم. 

به‌فرض این‌که a.bd=α باشد، ثابت می‌کنیم α همان c ک‌م‌م دو عدد a و b است، یعنی در دو شرط تعریف ک‌م‌م صادق است:  

1    α=abd=a'dbd=a'bα=a'bbαα=abd=ab'dd=ab'α=ab'aα

2     x>0       ;       ax  ,  bxα?x

axx=aq1bx=x=bq2

با استفاده از قضیه بزو داریم:

if    a,b=dra+sb=dra+sbx=dxrax+sbx=dx    ;    x=aq1x=bq2rabq2+sbaq1=xdabrq2+sq1=xd    ;    q2+sq1=q'abq'=xd    ;    a.bd=αa.b=α.dαdq'=xdαq'=xαxαx


روش دوم-

الف) abd یک مضرب مشترک a و b است: 

abd=abdaabdabd=badbabd

ب) abd از همه مضارب مشترک a و b کوچک‌تر است:   

  c>0    ;    acadcdbcbdcd  abd2cdabdcabdc    ;    ad,bd=1

 

نکته

نتایج حاصل از قضیه اساسی حساب استدلالی 

1    a,b=dad  ,bd=1ad=a'a=a'dbd=b'b=b'da',b'=1

2    a,ba,b=aba,b=aba,b

3      a,bZ   :  a,b0     ;    if  a,b=1a,b=ab


4    c=a'b'da',b'=1

a,ba,b=aba,b=aba,bc=abdab=cda'db'd=cdc=a'b'da',b'=1

روابط موجود، اساس حل مسائلی را که معروف به مسائل حساب استدلالی هستند، پایه ریزی می‎‌کند.

توجه داریم که در حل این مسائل ابتدا همه فرضیات مساله را تا حد امکان برحسب a' و b' می‌نویسیم زیرا می‌دانیم:

a',b'=1

5   a,bZ    :    a,b0    ;   a,b=a,ba=b

به اثبات نتبجه فوق، در زیر توجه کنید:

ثابت می‌کنیم که:

if   a=ba,b=a,b

a=ba  baba,b=aa=baba,b=b       a,b=a,b

ثابت می‌کنیم که:

ifa,b=a,b  a=b

a,baa,baa,b=a,baa,baa,ba=a,ba,bba,bba,b=a,bba,bba,bb=a,ba=b

تمرین

دو عدد زیر را در نظر بگیرید:

a=36b=48

ک م م اعداد فوق را با استفاده از قضيه اساسی به‌دست آوريد .

یادآوری می‌کنیم که:

a,b.a,b=a.ba,b=a.ba,b

48=24×336=22×3248,36=22×3=12a,b=a.ba,b36,48=36.4836,4836,48=36.481248,36=144

دریافت مثال

مثال‌ها و جواب‌ها

قضیه اساسی حساب استدلالی

2,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید