معادلات سیال (حالت اول)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 32 مرتبه

حل معادلات سیال به‌فرمax+by=c

معادله سیال یا معادله دیوفانتی که به افتخار دانشمند یونانی در قرن سوم به نام او، نام‌گذاری شده است، به معادله‌ای گفته می‌شود که همه ضرایب آن صحیح و تعداد مجهول‌های آن بیش از معادله باشد.

هم‌چنین به‌دستگاه معادلاتی که تعداد مجهول‌های آنها بیشتر از تعداد معادلاتشان و همه ضرایب معادلات صحیح باشند، دستگاه سیال یا دستگاه دیوفانتی گفته می‌شود.

اگر چه به‌جز در مواردی مثل معادلات سیال درجه اول، دو مجهولی و یا بعضی انواع دیگر، نمی‌توان راه حل کلی ذکر کرد و ذوق و ابتکار دانش آموز از هر قاعده‌ای، می‌تواند وسیله‌ای برای حل این معادله باشد.

معمول است که عبارت معادله دیوفانتی یا معادله سیال را به هر معادله یک یا چند متغیره‌ای که دامنه متغیرهای آن اعداد صحیح هستند، اطلاق ‌کنیم.

ساده‌ترین این معادلات که به بحث آن می‌پردازیم، معادلات سیال دو متغیره خطی ax+by=c است که در آن اعداد صحیح a و b هر دو با هم صفر نیستند.

هر جواب این معادله یک زوج عدد صحیح مانند x0,y0 است به‌طوری‌که ax0+by0=c

یک معادله سیال می‌تواند دارای جواب‌های بسیاری باشد.

به‌عنوان نمونه:

معادله سیال خطی 3x+6y=18 که دارای جواب‌های زیر است:

x=6y=6   ,     x=10y=2    ,    x=4y=1

منظور از حل یک معادله سیال به‌دست آوردن کلیه‌ جواب‌های معادله است.

در واقع برای هر معادله سیال ax+by=c باید به دو سوال زیر پاسخ دهیم:

سوال اول- در چه صورت معادله ax+by=c دارای جواب است؟  

جواب این سوال توسط قضیه زیر داده می‌شود:

قضیه

معادله ax+by=c جواب دارد، اگر و تنها اگر: 

a,b=dc

اثبات

فرض کنیم dc 

dcqZ ; c=dq

a,b=dr,sZ  ,  ra+sb=draq+sbq=dqarq+bsq=dqax0+by0=c

یعنی x0=rqy0=sq در این معادله صدق می‌کنند، پس معادله دارای جواب است:

ax0+by0=c

برعکس فرض کنیم x0 و y0 جوابی برای معادله باشد، پس در معادله صادق است:

a,b=ddadax0dbdby0dax0+by0dc

دریافت مثال

سوال دوم- جواب‌های معادله را چگونه می‌توان به‌دست آورد؟

معادله سیال ax+by=c دارای دوگونه جواب است: 

جواب‌های خصوصی معادله سیال

به هر زوج عدد صحیح x0 و y0 به‌طوری‌که در معادله ax+by=c صدق کند، یک جواب خصوصی این معادله گویند که به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

فرض کنید می‌خواهیم یک جواب خصوصی برای معادله ax+by=c بیابیم.

در این روش فرض کنید a,b=d باشد:

با استفاده از روش الگوریتم اقلیدسی داریم:

a,b=dcc=dqr0,s0,ar0+bs0=dar0q+bs0q=dqar0q+bs0q=dqax0+by0=dy0=s0qx0=r0q

جواب‌های عمومی معادله سیال

جواب‌های عمومی عبارت است از دسته جواب‌هایی که کلیه جواب‌های معادله ax+by=c است.

برای یافتن جواب‌های عمومی به قضیه زیر توجه کنید: 

قضیه

اگر ax0+by0=c یک جواب خصوصی معادله ax+by=c باشد، در این‌صورت کلیه جواب‌های معادله (جواب‌های عمومی) از دستور زیر به‌دست می‌آید:  

x=x0+bdty=y0adt

اثبات

فرض می‌کنیم x0 و y0 یک جواب خصوصی معادله ax+by=c باشد، اگر x و y جواب دیگر این معادله باشد، داریم:   

ax0+by0=cax+by=cax0+by0=ax+by

ax0+by0=ax+byaxax0=by0byaxx0=by0yadxx0=bdy0yadbdy0y    ;    ad,bd=1ady0y    y0y=adt    ;    tZy=y0adtax+by=cax+by0adt=cx=x0+bdt

تذکر

1- قضیه فوق را وقتی می‌توان به‌کار برد که یک جواب خصوصی مانند x0,y0 داشته باشیم.


2-
انتخاب علامت قرینه برای این و یا آن ضریب فرقی ندارد، در واقع دو دستگاه زیر با هم معادل هستند:

x=x0+bdty=y0abtx=x0bdty=y0+adt

فقط جواب‌هایی که از دستگاه اول به ازای مقادیری از t به‌دست می‌آید، از دستگاه دوم به ازای قرینه آن مقادیر به‌دست خواهد آمد و بر عکس

دریافت مثال

تذکر

3- برای حل معادله سیال ax+by=c در حالت کلی، ابتدا یکی از متغیرهای x و y را بر حسب دیگری نوشته (در این روش ترجیحا متغیری را بر حسب دیگری می‌نویسیم که ضریب کوچک‌تردارد). 

سپس مقادیر صحیح عبارت حاصل را به‌تدریج خارج کرده تا به یک عبارت خطی صحیح برسیم و سرانجام با قرار دادن مقادیر صحیح دل‌خواه به جای متغیرهای آخرین عبارت خطی و صحیح، به‌ترتیب متغیرهای قبلی به‌دست آمده و مقدار صحیح برای x و y حاصل خواهد شد.  

دریافت مثال

نکته

اغلب پیش می‌آید که تنها جواب‌های مثبت معادله ax+by=c مورد احتیاج است، یعنی باید مقادیر صحیح و مثبتی برای x و y پیدا کرد که در معادله سیال صدق کند.

می‌توان پس از پیدا کردن جواب‌های عمومی برای x و y مستقیما جستجو کرد که به‌ازای چه مقادیری از پارامتر، جواب‌های مثبت برای x و y به‌دست می‌آید. 

روابط زیر را در نظر می‌گیریم:

x=x0+bdty=y0adt

a را مثبت فرض می‌کنیم و این موضوع به کلی بودن بحث لطمه‌ای نمی‌زند، زیرا قبلا دیدیم که اگر لازم باشد می‌توان قرینه a را در رابطه وارد کرد، در این‌صورت سه حالت خواهیم داشت:

حالت اول- هر دو نامساوی، در یک جهت باشند:

این حالت وقتی پیش می‌آید که در معادله ax+by=c عدد b منفی باشد، در حقیقت با استفاده از خاصیت نامساوی‌ها خواهیم داشت: 

برای این‌که ریشه‌ها مثبت باشند، بایستی x>0y>0 آن‌گاه: 

x=x0+bdt>0y=y0adt>0

در این حالت معادله دارای بی‌نهایت جواب مثبت خواهد بود.

دریافت مثال

نکته

حالت دوم- دو نامساوی در خلاف جهت یک‌دیگر باشند و متناقض یک‌دیگر باشند.

در این‌صورت واضح است که نمی‌توان مقداری برای t پیدا کرد که در هر نامساوی صدق کند، در این حالت معادله جواب‌های مثبت و صحیح ندارد.

دریافت مثال

نکته

حالت سوم- دو نامساوی در خلاف جهت یک‌دیگر باشند ولی یک‌دیگر را نقض نکنند.

در این حالت تعداد ریشه‌های مثبت به‌اندازه اعداد صحیحی است که بین دو حد به‌دست آمده t قرار گرفته است.

البته متذکر می‌شویم که حتی در این حالت ممکن است، معادله جواب مثبت نداشته باشد، زیرا ممکن است بین دو حد به‌دست آمده t حتی یک عدد صحیح نباشد.

دریافت مثال

نکته

گاهی برای حل معادله سیال می‌توان راه‌های ساده‌تری پیدا کرد که با سرعت بیشتری به‌جواب برسیم:

1- اگر ضریب یکی از مجهول‌ها و مقدار ثابت معادله، مقسوم علیه مشترکی داشته باشند، می‌توان با انتخاب مجهول کمکی برای مجهول دوم، دوطرف معادله را به مقسوم علیه مشترک مذکور ساده کرد.

تمرین

معادله سیال زیر را حل کنید:

6x5y=21

d=21,6=3


ضریب مجهول x عدد 6 و مقدار ثابت معادله، عدد 21 می‌باشند که مقسوم علیه مشترکی مساوی 3 دارند، بنابراین جمله 5y هم باید بر 3 قابل قسمت باشد و چون نسبت به 3 اول است y باید مضربی از 3 باشد:

6x5y=216x15t=21    ;    y=3t2x5t=7x=7+5t2x=6+4t+1+t2x=3+2t+1+t2    ;    k=1+t2x=3+2t+k    ;    t=2k1x=3+22k1+kx=5k+1y=3tt=2k1y=32k1=6k3

نکته

2- حل معادله سیال ax+by=c منجر به‌بدست آمدن یکی از جواب‌های صحیح معادله می‌شود.

برای پیدا کردن یکی از ریشه‌های صحیح معادله سیال می‌توان از روشی به‌نام روش جستجو استفاده کرد:

فرض کنید معادله سیال ax+by=c مفروض باشد: 

یکی از مجهول‌ها را برحسب مجهول دیگر به‌دست می‌آوریم. (بهتر است مجهولی را محاسبه کنیم که ضریب آن کوچک‌تر است.)

فرض کنید a<b باشد، در این‌صورت x=cbya به y مقادیر متوالی 0,1,2,.... را می‌دهیم تا به عددی برسیم که به ازای آن c-by بر a قابل قسمت باشد. 

فرض کنید به‌ازای y=n عبارت c-by بر a قابل قسمت باشد و خارج قسمتی مساوی m داشته باشد، در این‌صورت x=my=n یک جواب صحیح معادله است، در حقیقت داریم: 

cbya=mcbn=amam+bn=c

یعنی m و n در معادله صادق هستند. 

تمرین

معادله سیال زیر را حل کنید:

7x4y=2

7x4y=24y=7x2y=7x24


اگر به x مقادیر متوالی 0,1,2,.... را بدهیم، می‌بینیم که به‌ازای x=2 عبارت 7x-2 بر 4 قابل قسمت است و خارج قسمت آن مساوی 3 است، بنابراین یکی از جواب‌های معادله x=2 و y=3 است و بقیه جواب‌ها از رابطه کلی زیر به‌دست می‌آید:

a,b=d    ;    7,4=1x=x0+bdtx=2+41tx=24ty=y0adty=371ty=37t

نکته

3- در نظریه اعداد، ثابت می‌کنند که اگر در معادله سیال ax+by=c مقادیر a و b نسبت به هم اول باشند، بین اعداد 0,1,....,a1 همیشه عددی مانند y وجود دارد که به‌ازای آن c-by بر a قابل قسمت باشد، به‌همین دلیل توصیه کردیم که از میان دو مجهول آن‌که ضریب کوچک‌تری دارد بر حسب دیگری به‎‌دست آوریم تا اعداد مورد آزمایش کم‌تر باشد.    


4- حالت خاص معادله سیال: 

وقتی که یکی از ضریب‌های دو مجهول، مساوی واحد باشد، معادله سیال را به‌سادگی می‌توان حل کرد.

فرض کنید مثلا ضریب x برابر واحد باشد، خواهیم داشت:

x+by=cx=cby

واضح است که هر عدد صحیحی از y متناظر است با عدد صحیحی برای x

تمرین

معادله سیال زیر را حل کنید:

5x+y=18

5x+y=18y=185x


اگر به x مقادیر صحیح دل‌خواه بدهیم، برای y جواب‌های صحیح نظیر آن به‌دست می‌آید:

x=0,1,2,.....    ;    y=18,13,8,....

نکته

5- معادلاتی که جواب مثبت ندارند:

اگر در معادله ax+by=c ضریب‌های a و b مثبت و عدد معلوم c منفی باشد، به‌ازای تمام مقادیر مثبت x و y سمت چپ تساوی مثبت وسمت راست آن منفی می‌شود و معادله جواب مثبت ندارد.  

اگر ضریب‌های a و b منفی و مقدار ثابت c مثبت باشد، با ضرب دو طرف معادله در -1 به‌همان حالت قبل می‌رسیم، بنابراین:  

اگر ضریب‌های مجهول‌های یک معادله سیال علامتی مخالف با علامت مقدار ثابت معادله داشته باشند، معادله نمی‌تواند جواب مثبت داشته باشد.

مثال‌ها و جواب‌ها

معادلات سیال (حالت اول)

3,200تومان
خرید فایل PDF مثال ها و جواب ها

برای ارسال نظر وارد سایت شوید