معادلات سیال (حالت چهارم)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 23 مرتبه

حل معادلات سیال به‌فرمx2+y2=z2

عددهای صحیح و مثبت x و y و z که در رابطه x2+y2=z2 صدق کنند، اعداد فیثاغورث نامیده می‌شوند.

بنا بر قضیه فیثاغورث این اعداد می‌توانند ضلع‌های یک مثلث قائم‌الزاویه باشند و به همین مناسبت x و y را ضلع‌های مجاور به زاویه قائم و z را وتر گویند.

واضح است که اگر سه عدد x و y و z اعداد فیثاغورثی باشند،  nx و ny و nz هم سه عدد فیثاغورثی خواهند بود که در آن n عددی صحیح و مثبت است. 

برعکس اگر سه عدد فیثاغورثی مقسوم علیه مشترکی داشته باشند، می‌توان آنها را بر مقسوم علیه مشترک تقسیم کرد و سه عدد فیثاغورث جدید به‌دست آورد.

بنابراین در مرحله اول کافی است که سه عدد فیثاغورثی پیدا کنیم که دوبه‌دو نسبت به هم اول باشند، بقیه جواب‌ها با ضرب این سه عدد در هر عدد صحیح دل‌خواه به‌دست می‌آید.

قضیه

در سه عدد فیثاغورثی x و y و z یکی از ضلع‌های مجاور به زاویه قائمه زوج و دیگری فرد است.  

اثبات

استدلال را به‌طریق برهان خلف انجام می‌دهیم:

اگر x و y هر دو زوج باشند، x2+y2 هم زوج می‌شود و سه عدد x و y و z مقسوم علیه مشترکی مساوی 2 خواهند داشت و این مخالف فرض است که این سه عدد را بدون مقسوم علیه مشترکی در نظر گرفتیم، بنابراین لااقل یکی از دو عدد x و y فرد هستند.   

امکان دیگری هم وجود دارد، هر دو ضلع مجاور به زاویه قائمه فرد و در نتیجه وتر زوج است.

به‌سادگی ثابت می‌شود که این حالت هم ممکن نیست، در حقیقت اگر ضلع‌های مجاور به زاویه قائمه هر دو فرد باشند، به‌صورت زیر است:

2a+12b+1

مجموع مربع‌های آنها چنین می‌شود:

4a2+4a+1+4b2+4b+1=4a2+a+b2+b+2

یعنی مجموع این مربع‌ها عددی است که در تقسیم بر 4 باقیمانده‌ای مساوی 2 دارد، در حالی‌که مجذور کامل هر عدد زوج باید بر 4 قابل قسمت باشد.

به این ترتیب مجموع مربع‌های دو عدد فرد نمی‌تواند مجذور کامل باشد، به عبارت دیگر سه عدد فیثاغورثی نمی‌توانند وتر زوج و دو ضلع مجاور به زاویه قائمه فرد داشته باشد.

تذکر

اعداد فیثاغورثی خواص جالب دیگری هم دارند که ما بدون اثبات، آنها را ذکر می‌کنیم:

1- یکی از اضلاع مجاور به زاویه قائمه مضربی از 3 است.

2- یکی از اضلاع مجاور به زاویه قائمه مضربی از 4 است.  

3- یکی از سه عدد فیثاغورثی مضربی از 5 است.   

بنابراین دو عدد x و y (دو ضلع مجاور به زاویه قائمه) یکی فرد و دیگری زوج است، در این‌صورت عدد x2+y2 یعنی وتر هم فرد خواهد بود.

فرض می‌کنیم x عددی فرد و y عددی زوج باشد، از تساوی x2+y2=z2 داریم:

x2=z2y2=z+yzy

عوامل zy و z+y نسبت به‌هم اولند، زیرا اگر این دو عدد مقسوم علیه مشترکی غیر از واحد داشته باشند، در این‌صورت مجموع تفاضل و حاصل ضرب آنها یعنی: 

z+y+zy=2zz+yzy=2yz+yzy=x2

هم بر این مقسوم علیه مشترک قابل قسمت خواهند بود، یعنی اعداد x2  ,  2z  ,  2y مقسوم علیه مشترکی دارند، این مقسوم علیه مشترک نمی‌تواند مساوی 2 باشد چون x عددی فرد است.

بنابر‌این همان مقسوم علیه مشترک سه عدد x و y و z می‌شود که چیزی جز واحد نیست.  

به‌عبارت دیگر دو عدد zy و z+y نسبت به‌هم اولند. 

نکته

به‌ازای هر دو عدد فرد متباین m و n سه عدد فیثاغورثی برای x و y و z به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

وقتی که حاصل ضرب دو عدد zy و z+y که نسبت به هم اولند، مجذور کامل باشد، هر یک از آنها مجذور کامل هستند، یعنی:

x2=z+yzyz+y=m2zy=n2z=m2+n22,y=m2n22x2=z+yzy=m2n2x=mn

بنابر‌این اعداد فیثاغورثی به‌صورت زیر هستند‌:

x=mny=m2n22z=m2+n22

برای ارسال نظر وارد سایت شوید