معادلات سیال (حالت دوم)

تاریخ انتشار: 15 آذر 1399
آخرین ویرایش: 27 مرداد 1400
دسته‌بندی: نظریه اعداد
امتیاز:
بازدید: 22 مرتبه

حل معادلات سیال به‌فرمy=ax+bcx+d

در تمام حالت‌هایی که رابطه بین x و y یک رابطه هموگرافیک به‌فرم بالا باشد، می‌توان جواب‌های صحیح معادله را به‌دست آورد.

حالت اول- به حل معادله هموگرافیک y=ax+bcx+d وقتی a مضربی از c باشد، می‌پردازیم: 

تمرین

معادلات هموگرافیک زیر ر ا حل می‌کنیم:

y=3x+2x4

y=3x+2x4y=3x4+14x4y=3+14x4


برای این‌که y عدد صحیح باشد، باید 14x4 عدد صحیح باشد، یعنی باید 14 بر x-4 قابل قسمت باشد.


مقسوم علیه های 14 عبارتند از:

±1  ,  ±2  ,  ±7  ,  ±14


به‌ازای هر یک از این مقادیر، یک زوج جواب صحیح برای x و y به‌دست می‌آید:

معدلات سیال - پیمان گردلو


اگر جواب‌های مثبت معادله را بخواهیم:

x=    5   ,   6   ,   11   ,   18y=17,  10   ,   5    ,    4

y=24x782x7

y=24x782x7y=122x7+62x7y=12+62x7


برای این‌که y عدد صحیح باشد، باید 62x7 عدد صحیح باشد، یعنی باید 6 بر 2x-7 قابل قسمت باشد.


مقسوم علیه های 6 عبارتند از:

±6  ,  ±3  ,  ±2  ,  ±1


چون x عددی است صحیح و 2x-7 عددی فرد است و به‌ازای مقسوم علیه های ±6 , ±2 که زوج هستند، جواب صحیحی برای x به‌دست نمی‌آید، به‌ازای مقسوم علیه های فرد ±1 , ±3 داریم: 

2x7=1x=3  ,  y=62x7=1x=4  ,  y=182x7=3x=2  ,  y=102x7=3x=5  ,  y=14

تذکر

به این ترتیب اگر باقیمانده تقسیم صورت و مخرج را به‌دست آوریم، مقادیر x از این‌جا به‌دست می‌آید که مخرج را مساوی با مقسوم علیه های مثبت یا منفی این باقیمانده قرار دهیم.

وقتی که ضریب x در صورت بر ضریب x در مخرج قابل قسمت باشد، باقیمانده تقسیم صورت بر مخرج عددی است صحیح و بنابراین اگر ضریب x در مخرج واحد باشد، معادله همیشه دارای جواب است و ضمنا از آنجا که مقدار مقسوم علیه های یک عدد محدود است، تعداد جواب‌های چنین معادله‌ای محدود است و هرگز معادله سیالی از این نوع دارای بی‌نهایت جواب نیست.

حالت دوم- به حل معادله هموگرافیک y=ax+bcx+d وقتی a مضربی از c نباشد، می‌پردازیم: 

تمرین

معادلات هموگرافیک زیر ر ا حل می‌کنیم:

y=10x164x10

y=10x164x102y=10x162x52y=52x5+92x52y=5+92x5


مقسوم علیه های 9 عبارتند از:

±9  ,  ±3  ,  ±1


2x5=1x=2  ,  y=22x5=1x=3  ,  y=72x5=3x=1  ,  y=12x5=3x=4  ,  y=42x5=9x=2  ,  y=22x5=9x=7  ,  y=3

y=2x+476x+5

y=2x+476x+5y=13×6x+1416x+5y=13×6x+5+1366x+5y=131+1366x+5


مقسوم علیه های 136 عبارتند از:

±1  ,  ±2  ,  ±4  ,  ±8  ,  ±17  ,  ±34  ,  ±68  ,  ±136


از طرف دیگر برای این‌که 6x+5 مساوی عدد صحیح باشد، باید مساوی با عددی باشد که در تقسیم آن بر 6 باقیمانده‌ای مساوی -1 و 5 به‌دست آید.


بین مقسوم علیه های فوق تنها اعداد -1 و 17 دارای چنین خاصیتی هستند و در مورد این دو عدد داریم:

6x+5=1x=1  ,  y=456x+5=17x=2  ,  y=3

تمرین

به‌ازای چه مقداری از m کسر 10m135m7 برابر با عددی صحیح است؟

حاصل کسر را مساوی a قرار می‌دهیم:

a=10m135m7a=25m7+15m7a=2+15m7


برای این‌که a عددی صحیح باشد باید 15m7 مساوی عددی صحیح باشد، یعنی 5m7 باید مساوی با 1 یا -1 شود:

5m7=1m=855m7=1m=65


که در هیچ یک از این دو مورد برای m عددی صحیح به‌دست نمی‌آید، بنابراین معادله a=10m135m7 جواب صحیح ندارد.

به این ترتیب وقتی که ضریب مجهول در مخرج کسر برابر واحد نباشد، ممکن است که معادله جواب نداشته باشد.  

نکته

به‌طور کلی می‌توان بعضی جواب‌های معادلات سیال به‌صورت y=fxcx+d را به روش‌های مذکور در بالا پیدا کرد.

تمرین

معادلات هموگرافیک زیر ر ا حل می‌کنیم:

y=3x2x+1x2

3x2x+1 را بر x-2 تقسیم می‌کنیم، خارج قسمت مساوی 3x+5 و باقیمانده تقسیم مساوی 11 است.

y=3x+5+11x2


برای این‌که y عددی صحیح باشد، باید 11x2 مساوی عددی صحیح شود.

مقسوم علیه های 11 عبارتند از:

±11  ,  ±1

x2=1x=1  ,  y=3x2=1x=3  ,  y=25x2=11x=9  ,  y=23x2=11x=13  ,  y=45

برای ارسال نظر وارد سایت شوید